АУДИОБЮРО Контакты:
Адрес: 4-я Магистральная ул. 11/2, офис 117 123007 Москва,
Телефон:+7 (499) 990-03-21, Факс:+7 (499) 990-03-21, Электронная почта: info@audioburo.ru

Теорема Ферма

 

И.И. Лещенко

Последняя теорема Ферма. Наглядное изображение.

 

Москва 2013 г. 

1. Введение

Цель работы – представить Последнюю теорему Ферма в наглядном виде. Графические схемы обеспечивают новые возможности, – если не для доказательства теоремы, то, во всяком случае, – для выяснения причин, способствующих целочисленному решению радикала nv[xn+(x+С)n] при n=2 и исключающих его при n?2 (С – целое число, равное разнице y и x в уравнении Ферма).

Главными графическими элементами однотипных – для каждого показателя степени – схем служат кривая и множество точек. Формула кривой и координаты точек сконструированы таким образом (см. раздел 2), что совместимость двух названных элементов графика свидетельствует о целочисленном решении радикала, несовместимость – о дробном иррациональном результате.

Все абсциссы кривой (абсциссы вершин тупых углов ломаной линии, условно именуемой кривой) и точек – целые числа, ординаты – иррациональные бесконечные десятичные дроби. Бесконечность двух иррациональных ординат – кривой и точек, – рассчитываемых по разным формулам, почти всегда предопределяет обоюдную несоизмеримость. Для их равенства, для совместимости кривой и точек на графике необходимы особые – идеальные условия. Они обеспечиваются только в рамках графической схемы второй степени, анализ которой играет ключевую роль в понимании (решении) проблемы, поставленной теоремой Ферма.

Чтобы понять, почему невозможно целочисленное решение радикала при n?2, необходимо, как минимум знать, почему оно возможно при n=2, в чём первопричина образования пифагоровых троек. Теорема Пифагора лишь фиксирует соотношение сторон прямоугольного треугольника, не объясняя его частных случаев: независимо от значений длины катетов – целочисленных, рациональных или иррациональных, – сумма их квадратов равна квадрату гипотенузы; но не во всех случаях, даже при целочисленных катетах, то же – целочисленное – значение принимает гипотенуза. В предлагаемой работе каждый случай получает своё объяснение; кроме того, в прил.4-6 показано, что пифагоровы тройки – лишь частный случай более общей закономерности.

Несмотря на оговорки в различных формулировках теоремы Ферма, ограничивающие внимание ко второй степени, в предлагаемой работе, наоборот, уникальным особенностям её графической схемы отводится решающая, ключевая роль. На их систематизации, включая классификацию пифагоровых троек (прил.4-7), и сравнительном анализе базируется логика выяснения причин совместимости/несовместимости кривой и точек и, соответственно, – целочисленного и рационального или иррационального значения длины гипотенузы прямоугольного треугольника.

Одна группа особенностей схемы второй степени требует доказательства своей уникальности: в первую очередь, – собственно теорема Ферма и её графический аналог – совместимость точек и кривой. Особенности другой группы в наглядном изображении – при сравнении графических схем с n=2 и n?2 – вполне очевидны даже на небольших отрезках бесконечного графика, и доказательства их уникальности не требуется. Достаточно очевидны и причинно-следственные связи между двумя группами уникальных особенностей. Задача работы – показать подобные связи, что облегчит общее доказательство теоремы, или сделает его необязательным, заменив наглядным объяснением.

Работа состоит из описательной и конструктивной части. В первой (разделы 2-3) – приведена характеристика основных параметров графической схемы, включая обоснование зоны начальной несовместимости (ЗНН) точек и кривой, и характеристику ограничивающей ЗНН критической точки. Во второй части (раздел 4) рассмотрены уникальные особенности графической схемы второй степени и схема доказательства несовместимости критической точки (и других точек) и кривой – при n?2.

Для наглядного изображения теоремы Ферма предложена новая, ранее не использовавшаяся графическая схема. В связи с этим она представлена в работе более детально, чем требуется для решения поставленных задач. Имеются ещё более детальные варианты настоящей работы, пока не опубликованные, но получившие авторские свидетельства.

Работу не следует определять как математическую. Скорее, это попытка решения головоломки с применением азов математического анализа и аналитической геометрии.

Вместе с тем, работа по существу представляет собой схему, которая – при её одобрении – могла бы развиваться и совершенствоваться профессиональными математиками.

 

2. Общая характеристика графических схем

Каждая из однотипных графических схем (для каждого показателя степени n) состоит из кривой (2-1)1) и множества точек с абсциссами х и ординатами, определяемыми по (2-2)1).

ОКРВ=C+х*(nv2)–nv[хn+(х+C)n],                                                (2-1)

где ОКРВ – ордината кривой.

       С – целое число, равное разнице y и x в уравнении Ферма – xn+yn=zn (C=y–x); далее для простоты принято С=1 (в самом последнем прил.4-71) обоснована возможность распространить полученные при С=1 выводы на все целые значения параметра).

       х – абсциссы рядовых (и других) точек – числа их натурального ряда, включая ноль.

Ординаты точек (О) – иррациональные бесконечные десятичные дроби:

О=х*(nv2)–целая часть десятичного числа (ЦЧДЧ)                               (2-2)1)

При выбранном способе построения вертикальное расстояние между кривой и ближайшей точкой равно разности nv[xn+(х+1)n]–ближайшее целое число (БЦ). Если разность положительна, точка расположена выше кривой, если отрицательна – ниже, если разность равна нулю (иногда – при n=2), точка лежит на кривой, и из-под корня извлекается целое число. Таким образом, формула кривой позволяет сформулировать наглядный признак целочисленного решения радикала nv[xn+(х+1)n]: если оно существует, два из трёх членов правой части (2-1) – целые числа, и дробные части ординаты кривой и произведений х*(nv2) должны совпадать. Именно из-за интереса к дробной части целая часть исключается при расчёте ординат точек по (2-2).

В соответствии с признаком целочисленного решения радикала nv[xn+(х+1)n], доказательство теоремы сводится к доказательству несовместимости точек и кривой.

Подстановкой больших значений х в общий член ряда радикалов устанавливается, что:

limx>?{nv[xn+(x+1)n] / nv2} = x+0,5

и  limx>?{nv[xn+(x+1)n]} = (x+0,5)*nv2                                               (2-3)

Последующей подстановкой (2-3) в (2-1) определяется предел кривой:

lim x>?ОКРВ = lim x>?{1+х*(nv2)–nv[хn+(х+1)n]} = 1+х*(nv2)–(x+0,5)*nv2 =

= 1+х*(nv2)–х*(nv2)–0,5*(nv2) = 1–0,5*(nv2) =

= 1–0,5*(nv2)+0,5–0,5 = 0,5–0,5*[(nv2)–1]                                         (2-4)

При n>? пределы кривых имеют собственный предел (2-5): поскольку limn>?(nv2)=1, то

lim х>? (lim х>? ОКРВ) = 0,5–0,5*(1–1)=0,5                                        (2-5)

Рядовые точки образуют бесконечное множество систем параллельных линий. На графиках (рис.2-1)1) прослеживаются только первые из них – с наиболее крутыми линиями. Большинство систем с пологими линиями не видны  из-за больших расстояний между точками  по горизонтали и ограниченной – реальной – длины графика.

У каждой системы – индивидуальные параметры: угловые коэффициенты прямых линий и соответствующие им приращения абсцисс и ординат. Системам с восходящими линиями соответствуют положительные приращения ординат и нечётные порядковые номера, системам с нисходящими линиями –  отрицательные  приращения и  чётные  номера (табл.2-1)1). Приращения абсцисс и абсциссы точек – положительные целые числа. Рядовыми приращениями ординат (ПО) и абсцисс (ПА) названы, соответственно, вертикальные и горизонтальные проекции отрезков прямых линий между соседними точками.

Словосочетания «приращения ординат» и «приращения абсцисс» относятся только к разнице координат точек. «Прирост ординаты кривой» каждый раз в дальнейшем оговаривается специально и определяется в расчёте на единицу значения аргумента – абсциссы х.

Каждая система параллельных линий включает первую прямую. Первая восходящая прямая (по отношению к кривой – нулевая хорда) начинается в начале координат, нисходящая – в точке с координатами (0; 1). Первые точки на первых прямых названы направляющими (рис.2-1, 2-2); их координаты определяют стандартные для каждого показателя степени приращения абсцисс и ординат (ПА/i; ПО/i). Последние, в свою очередь, определяют угловые коэффициенты параллельных линий каждой системы: tg?iО/i/ПА/i. Все направляющие точки входят в подмножество точек, ближайших к горизонтальным ограничениям элементарного графика; их ординаты могут рассчитываться как по (2-2), так и по формулам графы 2 табл.2-1.


1)Первая цифра в скобках – номер раздела, вторая – номер формулы, рисунка, таблицы или приложения.

 

 

 

 Рис.2-1. Основные параметры графической схемы – кривая (2-1), критическая точка, рядовые и направляющие точки и укрупнённые приращения ординат (УПО). Сверху вниз: n=2, n=3 и n=4; С=1. Легенда – на всех графиках, фрагменты графиков – см. рис.2-2 на следующей странице.

   

Рис.2-2. Фрагменты рис.2-1 с расчётами приращений ординат (внизу). Рядовые и укрупнённые приращения ординат – ПО/i и УПО/i=УКiО/i,  i – порядковый номер системы параллельных линий. Показатели степени – на графиках; С=1 (легенда – на рис.2-1; на рис.2-2 – для трёх верхних графиков – на левом графике, для трёх пар графиков ниже – на верхней паре).

ПО/2=1–УК1О/1 (три графика вверху)

n=2        1–2*0,414214=0,171573          УК1=1/0,414214–0,414214=2

n=3        1–3*0,259921=0,220237          УК1=1/0,259921–0,847322=3

n=4        1–5*0,189207=0,053964          УК1=1/0,189207–0,285214=5

ПО/3О/1–УК2О/2 (графики слева)    и   ПО/4О/2–УК3О/3 (графики справа)

n=2        0,071068=0,414214–2*0,171573    и    0,029437=0,171573–2*0,071068

n=3        0,039684=0,259921–1*0,220237    и    0,021816=0,220237–5*0,039684

n=4        0,027314=0,189207–3*0,053964    и    0,026651=0,053964–1*0,027314

 

Таблица 2-1

Схема расчёта приращений ординат, абсцисс  (ПО и ПА)  и  укрупняющих коэффициентов (УК)

 

 

 

i

Рядовые приращения ординат (ПО/1, 2, 3 …) 1)

Укрупняющие коэффициенты (УК – всегда положительны)

Рядовые приращения абсцисс (ПА/1, 2, 3…) 1)

1

2

3

4

1

ПО/0= –1

 

ПА/0=0

ПО/1=(nv2)–1

 

ПА/1=1

2

 

УК1=1/[(nv2)–1]–ДЧ12)

 

ПО/2= 1–ПО/1*УК1

 

ПА/2А/0А/1*УК1

3

 

УК2О/1/ПО/2–ДЧ2

 

ПО/3О/1–ПО/2*УК2

 

ПА/3А/1А/2*УК2

4

 

УК3О/2/ПО/3–ДЧ3

 

ПО/4О/2–ПО/3*УК3

 

ПА/4А/2А/3*УК3

5

 

УК4О/3/ПО/4–ДЧ4

 

ПО/5О/3–ПО/4*УК4

 

ПА/5А/3А/4*УК4

6

 

УК5О/4/ПО/5–ДЧ5

 

ПО/6О/4–ПО/5*УК5

 

ПА/6А/4А/5*УК5

7

 

УК6О/5/ПО/6–ДЧ6

 

ПО/7О/5–ПО/6*УК6

 

ПА/7А/5А/6*УК6

i

 

УКi–1О/i–2/ПО/i–1–ДЧi–1

 

ПО/iО/i2–ПО/i–1*УКi–1

 

ПА/iА/i–2А/i–1*УКi–1

1) Цифровой индекс внизу, в знаменателе – порядковый номер системы параллельных линий.

2) ДЧ – дробная часть десятичного числа ДЧi–1О/i–2/ПО/i–1–УКi–1 (  табл.2-1,  графа 3,  строка i).

Для расчёта рядовых приращения ординат (ПО/i) друг на друга делятся абсолютные значения двух предыдущих приращений (ПО/i–2 / ПО/i–1). В качестве исходного рядового отрицательного ПО/0 принята единица – высота элементарного графика при С=1, первое положительное приращение (ПО/1) по принятым условиям построения равно  (nv2)–1 (табл.2-1). Укрупняющим коэффициентом (УК) названа целая часть результата деления друг на друга двух предыдущих ПО. Произведение УК на рядовое приращение названо укрупнённым приращением (УПОО*УК), состоящим из одного или нескольких рядовых ПО. Разница, или алгебраическая сумма, рядового (ПО/i–2) и следующего по порядку УП ординат (УПО/i–1) определяет следующее рядовое приращение (ПО/i) и т.д. (табл.2-1, рис.2-2 – подрисуночные расчёты).

Рядовые   приращения   абсцисс  рассчитываются,   как   сумма   их   рядового   приращения   на   линии,   предшествующей   предыдущей,   и  укрупнённого  –  на   предыдущей   линии:

ПА/iА/i–2А/i–1*УКi–1 (табл.2-1, графа 4). Используя эту формулу, рядовые ПА (они же – абсциссы направляющих точек – хНПР-i) можно представить в виде функций укрупняющих коэффициентов (2-6):

ПА/0=0;   ПА/1=1;   ПА/2=0+1*УК1=УК1

ПА/3=1+УК1*УК2                                                              (2-6)

При известных приращениях абсцисс приращения ординат (они же – ординаты направляющих точек – OНПР-i) могут определяться иным способом (2-7):

ПОА*(nv2)– БЦ,                                                           (2-7)

где БЦ – ближайшее к уменьшаемому произведению ПА*(nv2) целое число.

Если ПА*(nv2)>БЦ, приращение ординат – положительно, если ПА*(nv2)<БЦ – отрицательно. Используя формулы (2-6) и (2-7), в виде функций УК можно представить рядовые ПО, например:

ПО/3=(1+УК1*УК2)*(nv2)–БЦ                                                    (2-8)

Каждому показателю степени соответствует бесконечный график кривой с параметрами табл.2-1. Высокой степенью упорядоченности все параметры резко выделяются при n=2, – из-за постоянства отношений  соседних приращений ординат.  

Если принять  ПО/1=[(v2)–1]=М, то

1/М=М/М22/М33/М4=… …=Мi–1/Мi = М+2 = [(v2)–1]+2 = (v2)+1 = 2,4142,        (2-9 а)

причём 1–2М=М2, М–2М23, М2–2М34, М3–2М45… …Мi–1–2Мii+1         (2-9 б)

Таким образом, при n=2 все рядовые приращения ординат являются абсолютными значениями последовательно растущих степеней М (табл.2-2), а все укрупняющие коэффициенты  равны двум.

 

 

Таблица 2-2

Растущие степени первого приращения ординат ПО/1 [(v2)–1]i=Mi и суммы [(v2)+1]i при n=2

[(v2)–1]i=Mi

{хНПР*(v2)–БЦ1)}  или  {БЦ–хНПР*(v2)}

Значения

1

2

3=2

[(v2)–1]0

1

1

[(v2)–1]1

1(v2)–11)

0,414213562

[(v2)–1]2=[(v2)–1]*[(v2)–1]

2–(v2)–(v2)+1=3–2(v2)

–0,171572875

[(v2)–1]3=[3–2(v2)]*[(v2)–1]

3(v2)–4–3+2(v2)=5(v2)–7

0,071067812

[(v2)–1]4=[5(v2)–7]*[(v2)–1]

10–7(v2)–5(v2)+7=17–12(v2)

–0,029437251

[(v2)–1]5=[17–12(v2)]*[(v2)–1]

17(v2)–24–17+12(v2)=29(v2)–41

0,012193309

[(v2)–1]6=[29(v2)–41]*[(v2)–1]

58–29(v2)–41(v2)+41=99–70(v2)

–0,005050634

[(v2)+1]i

[хНПР*(v2)+БЦ]

Значения

[(v2)+1]0=

=1

=1

[(v2)+1]1=[(v2)+1]*1=

=1(v2)+11)=

=2,41421356

[(v2)+1]2=[(v2)+1]*[(v2)+1]=

=2+(v2)+(v2)+1=3+2(v2)=

=5,82842713

[(v2)+1]3=[2(v2)+3]*[(v2)+1]=

=4+3(v2)+2(v2)+3=5(v2)+7=

=14,0710678

[(v2)+1]4=[5(v2)+7]*[(v2)+1]=

=10+7(v2)+5(v2)+7=17+12(v2)=

=33,9705628

[(v2)+1]5=[12(v2)+17]*[(v2)+1]=

=24+17(v2)+12(v2)+17=29(v2)+41=

=82,0121933

[(v2)+1]6=[29(v2)+41]*[(v2)+1]=

=58+29(v2)+41(v2)+41=99+70(v2)=

=197,994949

1) БЦ – ближайшее к произведению хНПР*(v2) целое число

Для соотношений соседних приращений абсцисс значение М+2 является пределом при бесконечном росте их порядковых номеров: limi>?A/i–1/ПA/i)=М+2=(v2)+1=2,4142 (рис.2-3).

 

  

Рис.2-3.  Соотношения  соседних  приращений  абсцисс  (ПА/i+1/ПА/i)  при  n=2.

Благодаря сплошной двоичности укрупняющих коэффициентов (только) в графической схеме при n=2 возникает два подмножества направляющих точек и, соответственно, два подмножества систем параллельных линий – основных и промежуточных или межсистемных (рис.2-4).

В каждом укрупнённом приращении координат (УП) при n=2 – два рядовых приращения и три ограничивающих их точки. На рис.2-5 крайние, ограничивающие УП, точки служат направляющими точками двух соседних чётных или соседних нечётных – систем параллельных линий, а точка в середине УП – межсистемной направляющей точкой с координатами (хМ/С; ОМ/С).

Наличие двух подмножеств направляющих точек при n=2 отражается в генерации приращений ординат (ПО/i), каждое из которых, как отмечено выше, является последовательно растущей степенью ПО/1. Порядковый номер приращения i соответствует показателю степени; коэффициенты при радикале (v2) в двучлене, выделенные в графе 2 табл.2-2 жирным шрифтом, служат абсциссами основных направляющих точек (хНПР), а ближайшие к произведению  хНПР*(v2) целые числа (БЦ) – абсциссами межсистемных направляющих точек (хМ/С).

Абсциссы основных направляющих точек последовательно совпадают с целыми числами а и b в формулах – a2–b2, 2ab и a2+b2 – для нахождения пифагоровых троек. Для этой цели можно использовать любую пару чисел, но пара абсцисс направляющих точек обеспечивает в получаемых тройках параметр С, равный единице (табл.2-3; прил.2-1). По существу направляющие точки самовоспроизводятся. Если с числами а и b последовательно совпадают абсциссы межсистемных направляющих точек, в получаемых тройках параметр С равен двум.

Совпадение при n=2 абсцисс направляющих точек с числами a и b в стандартных формулах, подчёркивает естественный характер предлагаемой графической схемы.

 

Рис.2-4. Основные и межсистемные направляющие точки и первые прямые (n=2, С=1).

 

Рис.2-5. Укрупнённые приращения координат по системам параллельных линий – УПА/i и УПО/i (n=2, С=1). Легенда – на рис.2-4 и 2-5.

 

 

 

Таблица 2-3

Абсциссы направляющих точек – как числа a и b для нахождения пифагоровых троек (n=2, C=1); в графах 4 и 5 первые числа пифагоровых троек сдвинуты влево, вторые – вправо.

i

aiА/i

biА/i +1  (все УК=2)

b2–a2

2ab

b2+a2

1

2

3

4

5

6

0

0

1

1

0

1

1

1

0+1*2=2

3

4

5

2

2

1+2*2=5

21

20

29

3

5

2+5*2=12

119

120

169

4

12

5+12*2=29

697

696

985

5

29

12+29*2=70

4059

4060

5741

6

70

29*70*2=169

23661

23660

33461

7

169

70+169*2=408

137903

137904

195025

8

408

169+408*2=985

803761

803760

1136689

При n>2 каждый из параметров табл.2-1 или их соотношения представлены на графиках с использованием в качестве независимого переменного показателя степени  (рис.2-6, верхние графики; рис.2-7). Плоскостью подобных графиков служит вертикальная (фронтальная) проекция кривых.

С ростом показателя степени n рядовые приращения ординат уменьшаются, причём ПО/1 – плавно, равномерно (рис.2-6), все остальные – скачкообразно. С ростом n все укрупнённые приращения ординат скачкообразно уменьшаются, кроме УПО/1, которое также скачкообразно растёт, стремясь к единице, или высоте элементарного графика. С ростом показателя степени УК1 неограниченно растёт – из-за постоянной единицы в числителе уменьшаемого соответствующей формулы (табл.2-1, строчка 2, графа 3) и стремящегося к нулю его знаменателя; угловой коэффициент наклонной «прямой» графика УК1 практически равен 1/ln2 (рис.2-7).

         

Рис.2-6. Верхняя пара графиков – динамика приращений ординат в зависимости от показателя степени; слева – рядовые (По), справа – укрупнённые (УПо). Нижняя пара графиков – динамика рядовых приращений ординат в зависимости от порядкового номера (i); легенда на левом графике.

  

                   Рис.2-7. Динамика первого укрупняющего коэффициента (УК1).

В пределах каждого показателя степени с ростом порядкового номера (i>?) приращения ординат уменьшаются, причём при n=2 – равномерно, при всех n?2 – скачкообразно (рис.2-6).

Целочисленные приращения абсцисс с ростом показателя степени n и порядкового номера i увеличиваются, и только рядовые приращения абсцисс 1-й системы параллельных линий всегда равны единице: ПА/1=1 (табл.2-1, строчка 1, графа 4).

Чётные и нечётные значения УК1 делятся поровну – по 50%; у всех прочих УК с большими порядковыми номерами преобладают (~2/3) нечётные значения (так как единица встречается чаще двойки, и далее – каждое предыдущее значение УК – чаще последующего).

Для УК2 распределение долей получает строгое обоснование, благодаря упорядоченной динамике соотношений двух первых приращений ординат при росте показателя степени: чем больше УК2, тем меньше его доля в общем количестве значений (2-10):

ДУК-2=1–1/(к+1)=1/[к*(к+1)],                                            (2-10)

где ДУК-2 – доля УК2 в общем количестве его значений графике ПО/2/ПО/1к – значение УК2.

Угловые коэффициенты (tg?i) прямых i-той системы параллельных линий, соединяющих точки, рассчитываются делением приращения ординат на приращение абсцисс:

tg?i = ПО/i/ПА/i = [ПА/i*(nv2)–БЦi]/ПА/i = nv2–БЦi/ПА/i,                             (2-11)

где БЦ – ближайшее к уменьшаемому произведению целое число [см. (2-7)].

Формулы угловых коэффициентов прямых различных систем параллельных линий (2-11) и касательных (2-12) к кривым, то есть производных (2-1), по своей структуре весьма схожи:

tg?КСТ = {1+х(nv2)–nv[хn+(х+1)n]} = nv2–[хn–1+(х+1)n–1] / nv[xn+(х+1)n]n–1,          (2-12)

где tg?КСТ – угловой коэффициент касательной.

У них одинаковое уменьшаемое – nv2; вычитаемое представлено дробью, числитель которой в обоих случаях – натуральное целое число. Расхождение – в знаменателе вычитаемого.

Только когда точка с координатами [x; х*(nv2)–целая часть десятичного числа] лежит на кривой, и её абсцисса обеспечивает целочисленное решение радикала nv[xn+(х+С)n], формула касательной (2-12) упрощается до tg?КСТ=(nv2)–рациональное число (2-11).

Горизонтальные расстояния между точками на прямых различных систем параллельных линий равны (или кратны) целочисленному знаменателю вычитаемого – ПА/i в (2-11). В полной мере это утверждение относится к касательным, – если точка касания лежит на кривой и сложный знаменатель (радикал) вычитаемого в (2-12) является целым числом [см. рис.2-1, где касательная с координатами точки касания (3; 0,2426) совпадает с прямой 3-й системы параллельных линий].

Вертикальное расстояние между любой точкой и прямыми линиями либо равно нулю, либо рациональной дроби, кратной 1/ПА/i.

Выводы, подчёркивающие разницу графических схем при n=2 и n?2:

1. При n=2 все укрупняющие коэффициенты (УК) равны двум, при n?2 это невозможно даже теоретически: УК1 равен двум только один раз – при n=2, – далее, при n>? он только растёт.

2. Только в графической схеме второй степени насчитывается два подмножества направляющих точек и, соответственно, два подмножества систем параллельных линий – основных и промежуточных, или межсистемных.

3. Абсциссы основных направляющих точек при n=2 последовательно совпадают с целыми числами а и b в стандартных формулах – a2–b2, 2ab и a2+b2 – для нахождения  пифагоровых троек.

 

 

3. Критическая точка, её положение и свойства

Критическая точка ограничивает зону начальной несовместимости (ЗНН) кривой и точек (рис.2-1, 2-2, 3-1). Для ЗНН, выделенной жирным прямоугольником на четырёх графиках рис.3-1 (n=4, n=8, n=9 и n=11), теорема Ферма доказывается достаточно легко.

Геометрический смысл ЗНН состоит в том, что первая прямая 1-й системы самых крутых параллельных линий, соединяющих точки, и кривая пересекаться не могут (рис.3-1). Вместе с тем, пересечение кривой и прямой 1-й системы является необходимым минимальным условием целочисленного решения радикала nv[xn+(x+С)n]; если на этом пересечении лежит точка, – подобное решение существует обязательно (при n=2). Если пересечения нет вообще, целочисленное решение nv[xn+(x+С)n] опять-таки исключается, и теорема для ЗНН доказана.

Невозможность пересечения доказывается решением неравенства. При любом показателе степени  угловой  коэффициент  первой  прямой  1-й системы,  равный  по  условиям  построения (nv2)–1, больше углового коэффициента первого звена (и тем более других звеньев) ломаной линии, условно именуемой кривой (2-1). Угловой коэффициент первого звена кривой с х=1 определяется по (2-1), и неравенство решается не в его пользу (не в пользу кривой):

(nv2)–1>C+1*(nv2)–nv[1n+(1+C)n]                                                (3-1)

–1>C–nv[1n+(1+C)n] и

nv[1n+(1+C)n]>1+C

(последнее неравенство – очевидно). Кроме того, первая прямая 1-й системы является касательной к кривой с точкой касания в начале координат, и в дальнейшем эти две линии пересечься не могут. Формулой углового коэффициента касательной служит производная функции (2-1) – (2-12); подставляя в (2-12) х=0, независимо от показателя степени и параметра С получаем угловой коэффициент прямых 1-й системы параллельных линий: tg?КСТ = (nv2)–1=tg?1-й.

Арифметический смысл ЗНН весьма прост.  При небольших значениях абсциссы критической точки (хКР) и, наоборот,  больших значениях соотношения (хКР+С)/хКР роль второго слагаемого в подкоренном выраженииnv[xКРn+(xКР+С)n] столь велика,  что извлечение корня не позволяет получать числа, хотя бы на единицу больше, чем xКР+С; таким образом,  ограничениями величины радикала служит пара соседних членов натурального ряда, и целочисленное решение исключается:

xКР+С < nv[xКРn+(xКР+С)n] ? хКР+С+1                                            (3-2)

и при С=1 xКР+1 < nv[xКРn+(xКР+1)n] ? хКР+2                                                 (3-3)

По условиям (3-2) и (3-3) абсцисса  xКР  принимается, поскольку расчёту не поддаётся.

Критическая точка занимает определённое положение. Как было показано выше (3-1), пересечение первой прямой 1-й системы параллельных линий с кривой невозможно, но со второй по порядку прямой этой же системы оно неизбежно. Критическая точка находится непосредственно под этим пересечением (рис.3-1), а при n=2 – иногда – на пересечении. Выше кривой критическая точка не может находиться по условию (3-3). В этом случае величина радикала nv[xКРn+(xКР+1)n] больше, чем ближайшее целое число – хКР+2, и критической становится предыдущая рядовая точка.

Имея представление о графической схеме в целом, о системах параллельных линий и их номерах, о ЗНН и ограничивающей её критической точке, целесообразно вернуться к разделу 2 для уточнения деталей. Уточнение, в частности, касается целой части десятичного числа (ЦЧДЧ) в формуле (2-2) взаимосвязи абсцисс и ординат всех точек (х; О):

О=х*(nv2)–целая часть десятичного числа (ЦЧДЧ)                                (2-2)

Конкретизировав вычитаемое, получаем:

О=х*(nv2)–х–(N–1),                                                             (3-4)

где N – порядковый номер прямой 1-й системы с рядовой точкой на ней.

Подставляя в (3-4)  ПО/1=(nv2)–1,  получаем:

О=х*[(nv2)–1]–(N–1)=х*ПО/1–(N–1)                                              (3-5)

Поскольку порядковый номер прямой, на которой лежит критическая точка, – всегда второй (N=2), формула расчёта её ординаты (ОКР) далее упрощается до

ОКР=xКРО/1–1=xКР*[(nv2)–1]–1                                                  (3-6)

 

 

Рис.3-1. Положение критической точки относительно кривой (легенда – на верхнем и на втором сверху правом графике); показатель степени и параметр С – на графиках. На четырёх графиках (n=4, n=8, n=9 и n=11) жирным прямоугольником выделена зона начальной несовместимости (ЗНН) кривой и точек.

При n=2 критическая точка с абсциссой xКР=3 входит в подмножество точек, ближайших и к кривой, и к нижнему горизонтальному ограничению элементарного графика. В подмножество точек, ближайших к его обоим горизонтальным ограничениям, входят все направляющие точки.

Графическая схема второй степени отличается максимальным размером первого приращения ординат – ПО/1 (рис.2-6). При n=2 оно больше предела кривой [см.(2-4)], и больше ординаты критической точки (рис.3-2-1 и 3-2-2).

Рис.3-2-1. Соотношение первого приращения ординат – ПО/1 и предела кривой – L (ПО/1/L). Слева – основной график, справа – его фрагмент; легенда на основном графике.

При n=2  [(nv2)–1]/[1–0,5(nv2)] ? 1,  при n? 2  [(nv2)–1]/[1–0,5(nv2)]?1

Решение уравнения (nv2)–1=1–0,5(nv2) определяет равновесный показатель степени: при n=ln2/ln(4/3)=2,40942 соотношение [(2,40942v2)–1]/[1–0,5*(2,40942v2)]=1, а его числитель и знаменатель равны 1/3 (см. правый график).

Рис.3-2-2. Соотношение первого приращения ординат – (nv2)–1 – и ординаты критической точки – ОКР. Слева – значения параметров, справа соотношение [(nv2)–1]/ОКР. Красный кружок при n=2 – единственное значение соотношения больше единицы.

Максимальным первым приращением ординат (ПО/1) при n=2 обусловлено минимальное число точек на прямых 1-й системы параллельных линий – две или три (верхние графики на рис.2-1, 3-1; прил.3-1-1). С максимальным первым приращением ординат связана и максимальная доля точек, ближайших к горизонтальным ограничениям графика. Доля этих точек в общем их количестве на элементарном графике равна удвоенному первому приращению ординат – 2*ПО/1. В результате – графическая схема второй степени располагает повышенным числом точек – потенциально направляющих. Потенциальная возможность, благодаря сплошной двоичности укрупняющих коэффициентов, реализуется в два подмножества направляющих точек (рис.2-4), а критическая точка приобретает дополнительный статус межсистемной направляющей точки.

 

 

Вертикальное расстояние между соседними точками на прямых линиях 1-й системы равно первому приращению ординат. Если оно больше предела кривой (рис.3-2-1), то больше любой её ординаты. Поэтому при n=2 все точки, лежащие на кривой или под ней, являются самыми нижними на прямых линиях 1-й системы (прил.3-1-1), то есть ближайшими к нижнему ограничению элементарного графика; критическая точка не является исключением. На кривой и под кривой точки вообще может не быть, только – над кривой. Наоборот, при n?2 ближайшие к кривой точки, включая критическую точку, из-за относительно малой величины первого приращения ординат (рис.3-2) на тех же прямых 1-й системы самыми нижними быть не могут (прил.3-1-2, 3-1-3).

Для  характеристики  критической  точки  определены  а) предельное  значение  её  абсциссы – в расчёте на единицу показателя степени  и  б) абсолютный предел её ординаты:

а)   limn>?КР/n)=(1/ln2)2=(РГ)2=2,0814                                        (3-7)

б)    limn>? (OКР)= (1/ln2)–1=РГ–1=0,4427                                     (3-8)

где РГ=1/ln2=1,4427 – предельное горизонтальное расстояние между прямыми 1-й системы параллельных линий – в расчёте на единицу показателя степени.

Далее уточняется положение критической точки относительно отрезков укрупнённых приращений ординат с двумя первыми порядковыми номерами (УПО/1 и УПО/2).

Формулы табл.2-1 позволяют представить абсолютное значение каждого отрицательного рядового приращения ординат, в том числе исходного (ПО/0=1), как сумму их последующих положительных укрупнённых приращений (УПО), дополненную абсолютным значением одного рядового отрицательного [табл.3-1, (3-9а)]. Аналогичным способом можно представить абсолютное значение каждого положительного рядового приращения ординат, в том числе первого {ПО/1=[(nv2)–1]}, как сумму их последующих отрицательных укрупнённых приращений, дополненную абсолютным значением одного рядового положительного [табл.3-1, (3-9б)].

Таблица 3-1

Представления приращений ординат (ПО/i) через последующие более мелкие приращения

Формулы

№№ п/п

ПО/0=1= ПО/1*УК1О/2

(3-9а)

ПО/0=1= ПО/1*УК1О/3*УК3О/4

–«–

ПО/0=1= ПО/1*УК1О/3*УК3О/5*УК5О/6

–«–

ПО/0=1= ПО/1*УК1О/3*УК3О/5*УК5О/7*УК7О/8

–«–

ПО/0=1= ПО/1*УК1О/3*УК3О/5*УК5О/7*УК7О/9*УК9О/10  и т. д

–«–

ПО/1= (nv2)–1 = ПО/2*УК2О/3

(3-9б)

ПО/1= (nv2)–1 = ПО/2*УК2О/4*УК4О/5

–«–

ПО/1= (nv2)–1 = ПО/2*УК2О/4*УК4О/6*УК6О/7

–«–

ПО/1= (nv2)–1 = ПО/2*УК2О/4*УК4О/6*УК6О/8*УК8О/9

–«–

ПО/1= (nv2)–1 = ПО/2*УК2О/4*УК4О/6*УК6О/8*УК8О/10*УК10О/11 и т. д.

–«–

Из табл.3-1 следует, что каждое отрицательное рядовое приращение ординат служит пределом суммы всех их последующих положительных укрупнённых приращений, соответствующих более пологим линиям, а каждое положительное рядовое приращение ординат является пределом суммы всех их последующих отрицательных УПО. Таким образом, независимо от показателя степени, предел суммы положительных УП ординат при вовлечении в подсчёт всё более пологих восходящих линий на элементарном графике стремится к единице – исходному отрицательному рядовому приращению, а предел суммы отрицательных – к (nv2)–1 – первому положительному рядовому приращению. Предел алгебраической суммы всех УП ординат (табл.3-2) – положительных и отрицательных – при С=1 равен (3-10):

lim ?i=1? (УПО/i)=1–[(nv2)–1]=2–(nv2)=2*[1–0,5*(nv2)]                                (3-10)

По аналогии с (2-5) предел алгебраической суммы УП ординат (УПО) при неограниченном росте показателя степени имеет собственный предел: поскольку limn=2? (nv2)=1, то

limn>? [lim ?i=1?О/i*УКi)]=2*[1–0,5*(nv2)]=2*(1–0,5*1)=1                          (3-11)

Если при расчёте предела алгебраической суммы УПО в (3-10) используются единица и ПО/1=(nv2)–1, то в (2-4) – для расчёта предела кривой фигурируют половинки тех же величин.

 

 

Таблица 3-2

Предел алгебраической суммы укрупнённых приращений ординат и удвоенный предел кривой

 

n=2

n=3

n=4

ПО

УК

УПО

ПО

УК

УПО

ПО

УК

УПО

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ПО/1

0,4142136

2

0,828427

0,2599211

3

0,779763

0,18920712

5

0,9460356

ПО/2

–0,171573

2

–0,34315

–0,220237

1

–0,22024

–0,0539644

3

–0,161893

ПО/3

0,0710678

2

0,142136

0,0396842

5

0,198421

0,02731384

1

0,0273138

ПО/4

–0,029437

2

–0,05888

–0,021816

1

–0,02182

–0,0266506

1

–0,026651

ПО/5

0,0121933

2

0,024387

0,0178684

1

0,017868

6,63255e–4

40

0,0265302

ПО/6

–0,005051

2

–0,01010

–0,003948

4

–0,01579

–1,2038e–4

5

–6,019e–4

ПО/7

0,0020920

2

0,004184

0,0020783

1

0,002078

6,13505e–5

1

6,1351e–5

ПО/8

–8,666e–4

2

–0,00173

–0,001869

1

–0,00187

–5,9030e–5

1

–5,903e–5

ПО/9

3,5894e–4

2

7,179e–4

2,0915e–4

8

0,001673

2,32013e–6

25

5,8003e–5

ПО/10

–1,487e–4

2

–2,97e–4

–1,960e–4

1

–1,96e–4

–1,0272e–6

2

–2,054e–6

ПО/11

6,1584e–5

2

1,232e–4

1,3144e–5

14

1,840e–4

2,65787e–7

3

7,9736e–7

ПО/12

–2,551e–5

2

–5,10e–5

–1,199e–5

1

–1,20e–5

–2,2981e–7

1

–2,298e–7

ПО/13

1,0566e–5

2

2,113e–5

1,1574e–6

10

0,000012

3,59756e–8

6

2,1585e–7

ПО/14

–4,377e–6

2

–8,75e–6

–4,129e–7

2

–8,26e–7

–1,3957e–8

2

–2,792e–7

Сумма нечётных УПО

0,999996

 

 

0,999999

 

 

0,99999999

Сумма чётных УПО

–0,41421

 

 

–0,25992

 

 

–0,1892071

Алгебраическая сумма

0,585784

 

 

0,740079

 

 

0,81079264

lim (ОКРВ)*2 при x>?

0,585786

 

 

0,740079

 

 

0,81079288

lim (ОКРВ) при x>?

0,292893

 

 

0,370039

 

 

0,40539644

 

Все приращения ординат – вертикальные проекции реально присутствующих на графиках отрезков прямых линий между точками. Реальные половинки отрезков укрупнённых приращений, ограниченные точками, присутствуют только тогда, когда они (УПО) состоят из чётного числа рядовых приращений ординат (ПО). Пример «сплошной чётности», или «сплошной двоичности», демонстрируют укрупняющие коэффициенты (УКi=2) при n=2 (раздел 2). «Сплошная двоичность» УК предопределяет равенство предела алгебраической суммы бесконечного числа половинок УПО, или что в этом единственном случае (при n=2) то же самое – предела суммы рядовых приращений ординат, реально присутствующих на графиках, пределу кривой:

0,5*lim ?i=1?О/i*УКi)=lim ?i=1?О/i)=limх>?КРВ)                              (3-12)

Если же при n>2 значение хотя бы одного УК нечётно, а в бесконечном ряду УК нечётных значений около 2/3, то в середине соответствующего укрупнённого приращения ординат (УПО) точка отсутствует. Следовательно, на графике нет реальных половинок УПО, алгебраическая сумма бесконечного числа которых могла бы соответствовать пределу кривой.

Равенство (3-12), реальное только при n=2, отражает срединное положение точек и предела кривой: точек – в том числе критической – в середине соответствующих отрезков УПО (то есть наблюдается точечная симметрия), а предела кривой – в середине условного отрезка, высота которого равна алгебраической сумме бесконечного числа УПО. При n?2, как показано ниже, срединное положение критической точки недостижимо.

От начала координат до предела кривой – бесконечное поле элементарного графика. Критическую же точку от начала координат отделяют в буквальном смысле слова два шага: первый шаг – вверх по первой прямой 1-й системы параллельных линий, соединяющих точки, второй шаг – вниз по одной из прямых 2-й системы (рис.3-3, 3-4).

При n=2 достигается полная гармония: первый шаг вверх – 0,5*УПО/1 – приводит к точке перегиба над кривой, второй шаг вниз – 0,5*УПО/2 – к критической точке точно на кривой. За пределами (ЗНН) – та же картина: половинки нечётных УПО ведут вверх, к точке перегиба, половинки их чётных аналогов – вниз точно на кривую (рис.3-3).

   

Рис.3-3. Положение точек на кривой и наклонных отрезках УПО/i; n=2, С=1, УКi=2.

При n>2 подобной гармонии нет, хотя существует вполне реальная вероятность, что двум первым шагам соответствуют чётный УК1 и УК2=2.

Критическая точка всегда лежит на второй по порядку прямой 1-й системы параллельных линий, соединяющих точки, и обязательным условием её срединного положения на отрезке УПО/2 является равенство УК2=2. Доля двойки в бесконечном ряду УК2 при n>? составляет 1/6 [формула (2-10)]; доля чётных значений в бесконечном ряду УК1 – 50%. Доля двух первых УК, отвечающих условиям срединного положения критической точки, составляет: 50%*(1/6)=1/12 (~8%). Таким образом, в ~92 случаях из ста, в частности, при показателях степени в интервале между n=2 и n=9 (рис.3-5), неравенство 0,5*УПО/1–0,5*УПО/2?ОКР обусловлено или нечётным УК1, или неравенством – УК2?2 (ОКР – ордината критической точки).

Более общая причина, полностью исключающая срединное (симметричное) положение критической точки при n?2, связана с нестандартной для первого укрупняющего коэффициента динамикой роста. При n>? УК1 – в отличие от всех последующих УКi (i ?1) – неограниченно растёт (рис.2-7); так же – в отличие от всех последующих УПО/i, уменьшающихся с ростом показателя степени, – УПО/1 скачкообразно растёт, стремится к единице (рис.2-6, правый верхний график), а 0,5*УПО/1, соответственно, – к 0,5. Поскольку при этом вертикальная проекция  отрезка  УПО/2  скачкообразно  стремится  к  нулю,  два  шага  по  прямым  линиям  1-й и 2-й систем параллельных линий с ростом показателя степени приводят нижние ограничения половинок УПО/2 всё ближе и ближе к серединной горизонтальной линии элементарного графика – y=0,5 (рис.3-4).

Предел ординаты критической точки на 11% меньше, чем 0,5:  11%={1–[(1/ln2)–1]/0,5}*100% – [см. (3-8)], и её рост отстаёт от роста ординаты нижнего ограничения половинки УПО/2. В результате уже при n=4 нижнее ограничение разности 0,5*УПО/1–0,5*УПО/2 находится выше критической точки, а при n?10 – даже выше предела её ординаты (рис.3-5).

При n?2  и  УК2=2  критическая  точка  может  лежать  в  середине  наклонных  отрезков УПА/2 и УПО/2 (рис.3-4), но срединное положение их начальной точки – на первой прямой 1-й системы параллельных линий – недостижимо при любом показателе степени больше двух. Соответственно,  исключается   срединное  положение  критической   точки  в  целом   на  отрезках  двух  первых  укрупнённых  приращений  ( на   нижнем   ограничении   разности  0,5*УПО/1–0,5*УПО/2).

Рис.3-4. Положение критической точки на наклонных отрезках УПО/1  и УПО/2; показатели степени и укрупняющие коэффициенты – на графиках (легенда – на обоих графиках).

 

Рис.3-5. Фронтальная проекция ограничений отрезков укрупнённых приращений ординат (С=1). Часть легенды – на рис.3-4.

Выводы по разделу 3:

1) ни одна рядовая точка («последняя» точка) несовместима с пределом кривой и

2) срединное положение критической точки недостижимо при любом показателе степени больше двух.

 

4. Уникальные особенности графической схемы второй степени

Некоторые из этих особенностей требуют доказательства своей уникальности, в первую очередь – целочисленное решение радикала v[x2+(x+1)2] и графический аналог – совместимость кривой и точек; другие особенности – в наглядном изображении вполне очевидны, так же, как очевидно их отсутствие в графических схемах более высоких степеней. Наличие причинно-следственных связей между особенностями двух обозначенных групп облегчает общее доказательство теоремы и/или наглядно объясняет причины, обеспечивающие целочисленное решение радикала при n=2 и исключающие его при n?2.

Уникальные особенности графической схемы второй степени лежат в основе механизмов, позволяющих исключить негативное влияние несоизмеримости иррациональных чисел на совместимость кривой и точек, и тем самым обеспечить целочисленное решение радикала. Роль инструментов-параметров в составе этих механизмов отводится направляющим точкам – их координатам и тождественным им приращениям координат (см. ниже – через абзац).

Положению точек на кривой при n?2 препятствует несоизмеримость ординат двух (выделенных курсивом) главных элементов графической схемы. Отрезки несоизмеримы, если соотношение их длин иррационально. Но несоизмеримость иррациональных параметров не является всеобъемлющей. Соизмеримыми являются, в частности, рядовые и кратные им укрупнённые им приращения иррациональных ординат. Кроме того, если иррациональные числа – объекты простейших арифметических действий, например, вычитания, то уменьшаемое и вычитаемое вместе – в виде алгебраической суммы – равны полученной иррациональной разности и, разумеется, соизмеримы с ней. В формулах предлагаемой графической схемы – независимо от показателя степени – встречаются три типа разности и равенства иррациональных параметров.

I. Согласно (2-1), разность уменьшаемой суммы [1+х*(nv2)] и вычитаемого радикала nv[xn+(х+1)n] равна ординате кривой (ОКРВ); согласно (2-2), дробная часть уменьшаемого при этом равна ординате точки [1+х*(nv2)– целая часть десятичного числа]. Если на вертикали находится направляющая точка, разность её ординаты  (ОНПР-i) с ординатами  горизонтальных ограничений графика – ОНПР-i–0=ПО/i или 1–ОНПР-i+1О/(i+1) – определяет дополнительный параметр – стандартное для каждого показателя степени приращение ординат, положительное и отрицательное, соответственно. Таким образом, направляющие точки в качестве источника (носителя) информации имеют преимущество перед рядовыми. Кроме того, их ординаты могут рассчитываться не только по (2-2), – как ординаты рядовых точек, но и по формулам табл.2-1, – как разность (алгебраическая сумма) иррациональных параметров (см. ниже – II и III типы).

II. Приращения ординат и абсцисс равны разности (алгебраической сумме) двух предыдущих приращений: рядового и укрупнённого (табл.2-1).

III. Координаты направляющих точки равны разности (алгебраической сумме) координат двух предыдущих направляющих точек с учётом укрупняющего коэффициента. Если в зоне начальной несовместимости (ЗНН)

ПА/3А/1+УК2А/2   и   ПО/3О/1–УК2О/2,                          II тип (см. рис.2-2)

то  хНПР-3НПР-1+УК2НПР-2   и   ОНПР-3НПР-1–УК2*(1–ОНПР-2)      III тип

Третий тип практически (арифметически) повторяет второй, так как все приращения координат равны координатам соответствующих направляющих точек. Выделение третьего типа в качестве самостоятельного связано с характеристикой критической точки. В ряде случаев аргументация относительно её позиции при различных показателях степени – n=2 или n?2 – с использованием координат выглядит не менее убедительно, нежели аналогичные доводы с использованием их стандартных приращений.

В графических схемах любой степени количество абсцисс точек (х) и радикалов в (2-1) бесконечно. Количество приращений координат (ПА/i и ПО/i) также бесконечно, но их бесконечность – меньшего порядка: приращения координат фиксируются только на вертикалях с направляющими точками, количество которых заметно уступает рядовым (рис.2-1, 2-4, 2-5).

Рядовые точки вписываются в равенства иррациональных параметров только I типа, изолированные (и реализуемые) в пределах одной вертикали. Направляющие точки, несущие дополнительную информацию о стандартных (единичных) приращениях, вписываются в равенства всех типов. Равенства II и III типа реализуются по наклонным – близким к горизонтальным – отрезкам укрупнённых приращений между двумя направляющими точками, в ЗНН – по отрезкам прямых 2-й системы параллельных линий (рис.4-1).

Рис.4-1. Графические элементы зоны начальной несовместимости (ЗНН); показатель степени и укрупняющие коэффициенты указаны на графиках; С=1. Легенда – на трёх первых графиках.

Независимо от показателя степени n сумма координат рядовой точки, смежной с критической, и направляющей точки 2-й системы параллельных линий равна координатам критической точки.

Независимо от показателя степени сумма координат направляющих точек 1-й и 2-й систем равна координатам (самой) нижней точки на второй прямой 1-й системы.

Только при n=2 совпадают друг с другом:

а) отрезки равенства и неравенства приращений и координат (при n=2 – только равенства),

б) критическая и самая нижняя точка на второй прямой 1-й системы,

в) направляющая точка 1-й системы и рядовая точка смежная с критической.

Продолжение рис.4-1.

 

Таким образом, направляющие точки могут обеспечить равенство иррациональных параметров на определённой площади. Однако необходимые для этого условия создаются только в рамках графической схемы второй степени, благодаря её уникальным особенностям, и только в пределах ЗНН, где преимущество направляющих точек перед рядовыми реализуется в равенство алгебраической суммы нескольких приращений ординат и прироста ординаты кривой.

Первопричиной многих уникальных особенностей графической схемы второй степени является экстремальная – максимальная величина первого приращения ординат (рис.2-6). С ней, в частности, связано минимальное количество точек на первой прямой 1-й системы параллельных линий – две (рис.4-1), причём обе – направляющие. Критическая точка (с абсциссой хКР=3) при n=2 одновременно служит межсистемной направляющей точкой (рис.2-1, 2-4, 2-5). В итоге графическая схема второй степени выгодно отличается полным отсутствием в ЗНН рядовых точек.

При n=2 на вертикалях х=1 и х=2 равенства I типа включают по одному рядовому приращению ординат – ПО/1 и ПО/2, которые в сумме с соответствующими радикалами равны ординате кривой (2-1) и соизмеримы с ней. Вместе с тем «поперечные» равенства II (и III) типа в ЗНН включают те же ПО/1 и ПО/2, которые в виде алгебраической суммы равны ПО/3 и соизмеримы с ним (табл.2-1, графа 2, строчка 3; рис.2-2). На вертикали х=3 ординату критической точки можно представить через всё те же два первых приращения ординат – ПО/1 и ПО/2 (и другими способами – табл.4-1, пп.2, 3, 4); в виде алгебраической суммы с положительной единицей и отрицательным радикалом она равна ординате кривой.

 

 

Таблица 4-1

Ордината критической точки (ОКР=0,242641) при n=2; (хКР=3)

№№

(№№ формул)

Результат расчёта

Дробная часть

1

(3-6)

хКРО/1–1=0,24264

0,242641

2

Табл.2-1, графа 2, строчка 3

ПО/1–ПО/2О/1–0,5*УПО/2=0,24264

0,242641

3

Сумма ординат

ОНПР-1НПР-2О/1+2*ПО/1=1,24264

0,242641

4

Уменьшаемая сумма в (2-1)

1+хКР*v2=5,24264

0,242641

5

tg?3-й1) – (2-11)

0,2+хКР*tg?3-й=0,24264

0,242641

6

tg?КСТ1) – (2-12)

0,2+хКР*tg?КСТ=0,24264

0,242641

1) tg?3-й=tg?КСТ=v2–[3+(3+1)]/v[32+(3+1)2].

Таким образом, на  четырёх  первых  вертикалях, включая  вертикаль х=0,  на  первой  прямой 1-й системы и на отрезке УПО/2 между 1-й и 3-й направляющими точками (рис.4-1) при n=2 – только равенства. Система вертикальных и наклонных линий, на которых реализуются соответствующие формулы, покрывает в пределах ЗНН всю площадь графика, а направляющие точки, включая межсистемную направляющую – критическую, органично вписываются в формулы. Прирост ординаты кривой соизмерим с приращениями ординат на отдельных вертикалях по формуле (2-1), а связку между вертикалями и соизмеримость приращений друг с другом обеспечивают формулы табл.2-1, 4-2 (и прил.4-1). Естественным образом для ЗНН создаётся уникальная возможность равенства приращений ординат (точек) и прироста ординаты кривой. При «сплошном» в ЗНН равенстве отклонение точки от кривой вверх первым положительным ПО/1 компенсируется вторым отрицательным ПО/2 вниз ровно настолько, чтобы точка на кривой в начале координат вновь вернулась на неё при хКР=3 (ПО/1–ПО/2О/1О/3КР).

Таблица 4-2 (см. также прил.4-1)

Равенства иррациональных параметров II и III типа в ЗНН при n=2

Параметры

Первая прямая 1-й системы

Нижняя прямая 2-й системы

1

2

3

Формулы табл.2-1

Приращения абсцисс,

ПА/2А/0+УК1А/1

ПА/3А/1+УК2А/2

приращения ординат

ПО/2=1–УК1О/1

ПО/3О/1–УК2О/2

Формулы табл.2-1, разделённые на две части, с координатами встроенных точек

Приращения абсцисс,

ПА/0А/1=хСМЖ_КР1)А/2–ПА/1

ПА/1А/2=хКРА/3–ПА/2

приращения ординат

ПО/0О/1=ОСМЖ_КР1)=(1–ПО/2)–ПО/1

ПО/1–ПО/2=ОКРО/2О/3

1) Координаты точки смежной с критической при n=2:  хСМЖ_КРНПР-1;  ОСМЖ_КРНПР-1.

Преимущества графической схемы n=2 обнаруживаются и при сравнении координат точек в пределах ЗНН. При n=2 сумма абсцисс двух первых направляющих точек равна абсциссе критической точки:

хНПР-1НПР-2=1+2=3КРНПР-3–хНПР-2=5–2=3                                       (4-1)

Уже при n=3 равенство (4-1) применительно к критической точке обращается в неравенство:

хНПР-1НПР-2=1+3=4?хКР=5

и остаётся неравенством при n>? (прил.4-2); точка с ординатой, равной сумме ординат двух первых направляющих точек (за вычетом единицы), при этом смещается вниз и при любом показателе степени остаётся ближайшей к нижнему ограничению графика (рис.4-1). В отличие от графической схемы при n=2, подобное положение – у нижнего горизонтального ограничения графика – для критической точки при n?2 невозможно (раздел 3, прил.3-1-2, 3-1-3).

Сумма двух абсцисс – хНПР-1 и хНПР-2, первая из которых единица, может быть равна только абсциссе точки, непосредственно следующей за второй направляющей; при n=2 – это критическая точка. Уже с переходом от n=2 к n=3 между двумя первыми направляющими точками на первой прямой 1-й системы, а также между второй направляющей и критической точкой на второй прямой 1-й системы возникают интервалы (разрывы), заполняемые рядовыми точками, число которых с ростом показателя степени n непрерывно растёт. Сумма двух абсцисс – хНПР-1 и хНПР-2 – уравнивается  с  абсциссой  не  критической,  а  самой  нижней  точки  (хНЖН)  на  второй  прямой 1-й системы – хНЖННПР-1НПР-2=1+УК1 (прил.4-2, графа 5).

 

 

В результате равенство (4-1) остаётся неповторимым, то есть координаты критической точки при n?2 не могут быть равны сумме координат двух первых направляющих точек; иными словами, критическая точка не вписывается в равенства иррациональных параметров III типа.

Только при n=2 самая нижняя и критическая точки совпадают (рис.4-1; прил.4-2, графы 4, 5; прил.4-3, рис.4-3-1), и обе легко встраиваются в равенства II и III типа. Аналог равенства (4-1) для ординат (ОКР и ОНПР-i) при n=2:

ОНПР-1–(1–ОНПР-2)=ОКР=(1–ОНПР-2)+ОНПР-3      и в цифрах:                                 (4-1а)

 0,4142–(1–0,8284)=0,2426=(1–0,8284)+0,0710 (=M–M2=3M–1=M2+M3, где M=v2–1)

Проблему соизмеримости/несоизмеримости иррациональных параметров следует дополнить данными о возможном измерителе. Его выбор ограничен стандартными приращениями ординат: в виде алгебраической суммы какой-то их комбинации можно представить ординату любой точки; если критическая (или другая) точка лежит на кривой, её ордината должна быть представлена той же комбинацией приращений. Подобное совпадение происходит только при n=2.

Чем меньше измеритель, тем проще и точнее измерение. В формуле (3-6) используется самый крупный измеритель – ПО/1, – что не позволяет судить о структуре ординаты критической точки – ОКР и комбинациях слагающих её приращений. Структурные формулы (4-2) и (4-3), полученные в результате преобразований формул графы 2 табл.2-1, дают такую возможность. При n=2 коэффициент при самом крупном измерителе (ПО/1) обращается в единицу в (4-2) и ноль в (4-3):

ОКР=(xКР–УК1)*ПО/1–ПО/2                                                       (4-2)

ОКР=[xКР–(УК1+1)]*ПО/1+(УК2–1)*ПО/2О/3                                       (4-3)

Независимо от показателя степени структурные формулы ординаты самой нижней точки (ОНЖН) на второй прямой 1-й системы (4-4) и (4-5) подобны (4-2) и (4-3), но коэффициенты при ПО/1 в них постоянны и неизменно равны единице и нулю, соответственно:

ОНЖНО/1–ПО/2                                                                (4-4)

ОНЖН=(УК2–1)*ПО/2О/3                                                       (4-5)

Поскольку при n=2 самая нижняя и критическая точки совпадают, формулы (4-2) и (4-4) для этого показателя степени идентичны так же, как (4-3) и (4-5):

ОКР=(3-2)*ПО/1–ПО/2О/1–ПО/2                                       (4-2) и (4-4)

ОКР=[3–(2+1)]*ПО/1+(2–1)*ПО/2О/3О/2О/3                         (4-3) и (4-5)

Что касается абсцисс, общая формула существует лишь для самой нижней точки на второй прямой 1-й системы параллельных линий:

хНЖННПР-1НПР-2=1+УК1=1+2=3;

Только при n=2 абсцисса критической точки и протяжённость ЗНН – три единицы – совпадают с этими суммами (хКРНЖН=1+УК1); при n?2 протяжённость ЗНН больше (хКР?3).

Дело в том, что при растущем показателе степени темпы роста первого укрупняющего коэффициента (УК1) определяются значением 1/ln2=1,443 (рис.2-7), тогда как темпы роста абсциссы критической точки (хКР) – квадратом этой величины – (1/ln2)2=2,0814 [формула (3-7); прил.4-2, графы 3, 4].

В результате только при n=2 три звена ломаной линии – кривой (2-1) – соответствуют числу вертикалей ЗНН, объединяемых поперечными равенствами II и III типа по прямым второй системы параллельных линий. При n?2 те же равенства не охватывают в ЗНН все вертикали и не учитывают их данные, что исключает положение критической точки на кривой.

Несмотря на подобие формул и некоторые отмеченные выше повторения характеристик критической точки при n=2, самая нижняя точка на второй прямой 1-й системы при n?2 по ряду очевидных причин не может лежать на кривой (рис.4-1, прил.4-3).

К преимуществам графической схемы второй степени относится также уникальное положение критической точки. Она входит в подмножество точек, ближайших к кривой, и в то же время является ближайшей к нижнему горизонтальному ограничению графика.

Критическая точка при n=2 лежит на «отрезке равенства приращений и координат», – на самой нижней прямой 2-й системы параллельных линий – между 1-й и 3-й направляющими точками (рис.4-1). Смежная с ней 1-я направляющая точка на первой прямой 1-й системы лежит между началом координат и 2-й направляющей точкой.

 

 

Будучи в подобном окружении, критическая точка легко вписывается в систему равенств иррациональных параметров II и III типа (табл.4-2, прил.4-1). Благодаря сплошной двоичности укрупняющих коэффициентов, формулы табл.2-1 также легко делятся на две равные части, фиксируя критическую и смежную с ней точку в середине отрезков укрупнённых приращений координат – УПА и УПО – двух первых систем.

При n?2 критическая точка лежит на «отрезке неравенства приращений и координат», – выше аналогичного «отрезка равенства», соединяющего 1-ю и 3-ю направляющие точки (рис.4-1). Точка, смежная с критической, на первой прямой 1-й системы – рядовая (при n=2 – направляющая). В соответствии со вторым выводом раздела 3 срединное положение критической точки недостижимо при любом показателе степени больше двух, что исключает возможность симметрично встроить её в систему равенств иррациональных параметров II  и  III типа.

Существует ещё один вариант объяснения причин положения критической точки на кривой при n=2.

При расчётах членов ряда радикалов nv[хn+(х+1)n] с ростом абсциссы х на единицу его целая часть в большинстве случаев увеличивается на ту же единицу (при любом показателе степени). Но когда разность дробной части радикала и ближайшего целого числа становится меньше (nv2)–1, целая часть радикала с ростом х на единицу нестандартно прирастает двойкой (табл. к рис.4-2).

Критическая точка и другие точки, лежащие на кривой при n=2, а также ближайшие к ней точки при n?2 обязательно приурочены к нестандартным отрезкам; при n=2 упомянутые точки находятся на их окончании, при n?2 – на любой позиции (рис.4-2).

Из-за максимального значения первого приращения ординат нестандартные отрезки при n=2 не всегда умещаются под кривой, и их начальная часть находится у верхнего ограничения элементарного графика, на предыдущей – первой прямой 1-й системы. Верхнее горизонтальное ограничение – y=1 – отсекает от нестандартных отрезков части, точно соответствующие чётным приращениям ординат, – если точка в конце нестандартного отрезка лежит на кривой. Все приращения ординат определяются через два исходных приращения – nv2 и единицу; поэтому, несмотря на иррациональные значения, они соизмеримы друг с другом: каждое из них равно алгебраической сумме двух предыдущих – рядового и укрупнённого (табл.2-1, графа 2). У нестандартного отрезка с критической точкой в конце его верхняя часть равна ПО/2, нижняя – ПО/1–ПО/2О/2О/3. Последующие подобные отрезки сложены иными комбинациями приращений ординат (рис.4-2 с табл.), но так же соизмеримы друг с другом и с предыдущими приращениями.

При n?2 нестандартные отрезки не пересекаются горизонтальными ограничениями графика, но пересекаются – делятся на две части кривой (рис.4-2).

Связь между уникальными особенностями графической схемы второй степени, не требующими доказательства своей уникальности, очевидна: экстремальная – максимальная величина первого приращения ординат обусловливает и отсутствие в ЗНН рядовых точек, и оптимальное положение критической точки, и соответствие протяжённости ЗНН сумме УК1+1 и абсциссе самой нижней точки на второй прямой 1-й системы параллельных линий. Достаточно очевидна также связь между двумя группами уникальных свойств: положение критической точки на «отрезке равенства приращений и координат» позволяет встроить её в формулы (4-1), (4-1а) и табл.4-2 (графа 3). Из-за сдвига критической точки вверх, на аналогичный «отрезок неравенства», названные формулы неповторимы при n?2, что исключает в пределах ЗНН возможность равенства приращений ординат (точек) и прироста ординаты кривой.

Благодаря вышеперечисленным преимуществам графической схемы при n=2, соизмеримость иррациональных приращений ординат и радикалов в (2-1) при n=2 реализуется не только на отдельных вертикалях – по I типу, но и на отрезках укрупнённых приращений координат двух первых систем параллельных линий – по II и III типу (табл.4-1). Объединённая реализация равенств иррациональных параметров всех типов обеспечивает в ЗНН при n=2 равенство приращений ординат (точек) и прироста ординаты кривой.

Описание преимуществ и ограничений графических схем при n=2 и n?2, соответственно, продолжается далее уточнением механизмов, обеспечивающих совместимость кривой и точек.

Рис.4-2. Нестандартные отрезки между соседними точками; для нестандартных отрезков рост аргумента – абсциссы «х» – на единицу приводит  к приросту  целой  части радикала      v[xn+(х+1)n] на два пункта. Слева n=2, справа n=3. Легенда на обоих графиках.

Таблица к рис.4-2

Вертикальные проекции нестандартных отрезков (при n=2),

состоящих из двух частей [М=(v2)–1]

Абсциссы точек:

Нестандартные отрезки из двух частей 1)

соседних точек

точек пересеч.2)

Верхняя часть

Нижняя часть

1

2

3

4=М–3

2-3

2,414214

М2=1–2М=0,17157288

М–М223=0,24264069

7-8

7,242641

М2–М334=0,1005051

М–М3–М42+2М3=0,31370850

12-13

12,07107

М42–2М3=0,02943725

М–М2+2М3=2М23–М4=0,38478

19-20

19,31371

М3+2М42–М34=0,12994

М–М3–2М42345=0,284

24-25

24,14214

М3–М5=2М4=0,058874503

М–2М42+2М345=0,3553

118-119

118,296465

46345+2М6=0,1228

М–4М4–М6234567

1) Возможны иные варианты приведенных в таблице алгебраических сумм.

2) Точки пересечения нестандартных отрезков с горизонтальными ограничениями графика.

Изложенные причины а) равенства суммы приращений ординат (точек) и суммарного прироста ординаты кривой в пределах ЗНН, а также б) положения критической точки на кривой и целочисленного решения радикала v[хКР2+(хКР+1)2] – не следует считать основными. Скорее всего, это равенство – следствие комплекса причин, среди которых трудно выделить первую –основную. Подобным же следствием, но не причиной, является равенство угловых коэффициентов прямой 3-й системы параллельных линий и касательной к кривой в точке с абсциссой, равной абсциссе критической точки (табл.4-1, пп.5, 6).

Описанные выше уникальные свойства графической схемы второй степени создают благоприятные условия. Конкретным же механизмом, обеспечивающим целочисленное решение радикала, служит естественное совпадение абсцисс направляющих точек – хНПР-1=1 и хНПР-2=2 с целыми числами а и b в стандартных формулах нахождения пифагоровых троек – a2–b2,  2ab и  a2+b2. Разность квадратов определяет первое число первой пифагоровой тройки – абсциссу критической  точки  –  хКР=b2–a2=22–12=3,  а  сумма  квадратов  –  третье  число  тройки – абсциссу 3-й направляющей точки – хНПР-3=b2+a2=22+12=v[32+(3+1)2]=5 (табл.2-3, строчка 1).

 

 

Ордината кривой по (2-1) – рассчитывается нарастающим итогом, и вертикальный отрезок между критической точкой и кривой зависит только от последнего радикала. Если сумма квадратов (хКР=b2+a2) уже определила радикал в виде целого числа, то суммарный прирост ординаты кривой в пределах ЗНН по (2-1) – ОКРВ=1+х*(nv2)–v[х2+(х+1)2] – автоматически уравнивается с суммой приращений ординат (точек) – х*(nv2)–целое число, то есть с дробной частью уменьшаемого в (2-1)  (табл.4-1, п.4).  Так же при целочисленном радикале в знаменателе вычитаемого в (2-12) уравниваются угловые коэффициенты прямой 3-й системы параллельных линий  и  касательной  к  кривой  в  точке  с  абсциссой,  равной  абсциссе  критической  точки (то есть при хКСТКР).

Даже в рамках графической схемы второй степени непосредственное соседство двух направляющих точек при равенстве суммы их координат (суммы ординат – за вычетом единицы) координатам точки на кривой – уникально. Подобное соседство возможно лишь в ЗНН, на первой прямой 1-й системы параллельных линий; наряду с уникальным положением критической точки, оно способствует её попаданию на кривую и целочисленному решению радикала.

За пределами ЗНН необходимость непосредственного соседства двух направляющих точек не обязательна, так как возможность целочисленного решения радикала и совместимость с кривой точек с другими абсциссами (х=20, х=119, х=696 и т.д. – рис.3-3; прил.4-4) обусловлены иными причинами.

Во-первых, за пределами ЗНН абсциссы направляющих точек, по-прежнему, как и в ЗНН играя роль целых чисел а и b, по формулам  a2–b2 или 2ab  бесконечно генерируют абсциссы точек на кривой, а по формуле  a2+b2 – воспроизводят абсциссы направляющих точек нечётных систем параллельных линий (табл.2-3; прил.4-4).

Во-вторых, кривые (2-1) относятся к типу эллиптических кривых, которые обладают свойством воспроизводить целочисленные точки на пересечении с хордами, проведенными из начала координат и параллельными касательным в предыдущих целочисленных точках. Обязательным условием реализации сформулированного свойства является наличие на эллиптической кривой первой точки с целочисленной абсциссой. При n=2 это критическая точка (можно считать её обязательной второй точкой, при первой, которая независимо от показателя степени лежит на кривой в начале координат).

Две названные причины, вероятно, дополняют друг друга.

Причины совместимости точек с кривой в ЗНН и за её пределами несколько отличаются друг от друга, но механизм – одинаковый: прирост ординаты кривой, необходимый для попадания на неё какой-либо точки, формируется на вертикали, предшествующей этой точке. В частности, параметры второй вертикали при n=2 достаточны, чтобы рассчитать прирост ординаты кривой на один шаг вперёд, – между вертикалями х=2 и х=3 (0,01976 – прил.4-5).

В рамках графической схемы второй степени для расчёта абсциссы очередной точки на кривой абсцисса предыдущей аналогичной точки (в ЗНН – ноль в начале координат) суммируется с абсциссами двух направляющих точек, расположенных между двумя упомянутыми точками на кривой – предыдущей и очередной (прил.4-4, табл.4-4-1).

При n?2 даже одна рядовая точка нарушает «сплошное» равенство на площади ЗНН. Присутствие рядовых точек не препятствует реализации вертикальных равенств иррациональных параметров  I типа. Но их поперечные равенства II и III типа, реализуемые по прямым 2-й системы параллельных линий  или  включают  не критическую,  а  самую  нижнюю точку на второй прямой 1-й системы, или не охватывают все вертикальные равенства I типа.

Между вертикалью с рядовой точкой и предыдущей вертикалью – независимо от того, маркирована ли она рядовой или направляющей точкой, – прирост ординаты кривой несоизмерим со стандартными единичными приращениями ординат. Первая рядовая точка появляется в ЗНН на первой прямой 1-й системы параллельных линий уже при n=3, и в дальнейшем, при последующем росте показателя степени количество рядовых точек также растёт, что предопределяет несовместимость критической точки и кривой.

Несовместимость не ограничивается критической точкой. За пределами ЗНН компенсировать её отклонение от кривой невозможно; компенсирующими отрезками могут служить лишь единичные стандартные приращения ординат, однако они реально присутствуют на графике лишь на редких вертикалях с направляющими точками.

 

 

Вывод относительно несовместимости точек и кривой за пределами ЗНН возможен также на базе разности и равенства иррациональных параметров III типа.

Если координаты критической точки не равны сумме координат двух первых направляющих точек, то никакая другая точка не попадёт на кривую: её координаты уже не могут быть алгебраической суммой координат всех предыдущих направляющих точек. Наоборот, при n=2 координаты любой точки на кривой равны сумме координат всех предыдущих направляющих точек (рис.4-1, прил.4-4).

Вывод по разделу 4. Преимущества графической схемы второй степени – минимальная протяжённость ЗНН, отсутствие в ней рядовых точек с ограниченной информацией, уникальное положение критической точки и другие, – обусловленные аномально большой величиной первого приращения ординат (рис.2-6), – определяют коренное различие всех параметров при n=2 и n?2. Названные преимущества на графиках рис.4-1 очевидны и их доказательства не требуется. Предложенная схема позволяет наглядно объяснить совместимость критической точки с кривой при n=2 и их несовместимость – при n?2.

После подобного вывода следовало бы закончить работу, но упомянув о принадлежности кривых к типу эллиптических, необходимо, во-первых, обосновать её (прил.4-6) и, во-вторых, показать связанные с эллиптическими кривыми возможности – в виде схем общего доказательства теоремы (прил.4-7).

Перечень уникальных особенностей графической схемы второй степени

Повторим, что некоторые из особенностей графической схемы второй степени требуют доказательства своей уникальности, другие вполне очевидны.

В первую группу входят:

1. Целочисленное решение радикала v[x2+(x+С)2] – собственно теорема Ферма.

2. Совместимость кривой и точек, в том числе – критической (графический аналог теоремы).

3. Совпадение касательных в целочисленных точках на кривой, в том числе в критической точке, с прямыми, входящими в системы параллельных линий с нечётными порядковыми номерами.

4. Связь координат обычных и межсистемных направляющих точек (прил.2-1).

5. Кратность угловых коэффициентов прямых 1-й системы параллельных линий, соединяющих точки, прямому углу:  tg  ( 90?/4)=v2–1=0,414214.

Во вторую группу входят вполне очевидные особенности графической схемы при n=2, отсутствие которых при n?2 не требует доказательства.

6. Сплошная двоичность укрупняющих коэффициентов; в бесконечном ряду показателей степени при n?2 теоретически все укрупняющие коэффициенты могут быть двойками, кроме первого: УК1=2 только при n=2 (рис.2-7).

7. Наличие двух комплектов систем параллельных линий и двух подмножеств направляющих точек – основных и межсистемных (рис.2-4, 2-5).

8. Равенство всех рядовых приращений ординат абсолютным значениям последовательно растущих степеней их первого приращения (табл.2-2)

9. Совпадение абсцисс направляющих точек с целыми числа а и b в стандартных формулах нахождения пифагоровых троек (табл.2-3).

10. Максимальная величина первого приращения ординат по сравнению с его значениями при показателях степени больше двух [(v2)–1]?[(nv2)–1]  (рис.2-6).

11. Соотношение первого приращения ординат и предела кривой больше единицы (рис.3-2-1).

12. Соотношение первого приращения ординат с ординатой критической точки больше единицы (рис.3-2-2).

13. Срединное положение критической точки на границе зоны начальной несовместимости (ЗНН) – на отрезках двух первых укрупнённых приращений ординат (рис.3-3).

14. В ЗНН присутствуют только направляющие точки и отсутствуют рядовые (рис.4-1).

15. Совпадение критической и самой нижней точки на второй прямой 1-й системы параллельных линий, соединяющих точки (рис.4-1).

16. Координаты критической точки равны сумме координат двух первых направляющих точек [равенство (4-1) для абсцисс и его аналог для ординат (4-1а)].

17. Соответствие протяжённости ЗНН сумме УК1+1

 

5. Заключение

В качестве заключения приводится ретроспективное изложение последовательности проведенных исследований. В них можно условно выделить два частично перекрывающих друг друга этапа: разработку графической схемы и её использование.

Исследования заранее не планировались. В условиях полной неопределённости и отсутствия каких-либо идей «методика» работ на начальной стадии сводилась к массовым расчётам радикала nv[xn+(x+С)n] при различных показателях степени n, растущем значении х и параметре С, в основном равным единице. В дальнейшем результаты каждой стадии исследований каждый раз подсказывали их направление на следующей стадии.

В большинстве случаев рост  х  на единицу приводит к приросту целой части радикала на ту же единицу (при С=1). Но когда разность дробной части радикала и ближайшего целого числа становится меньше (nv2)–1, целая часть радикала прирастает двойкой; частота подобной смены уменьшается с ростом показателя степени. Из этих наблюдений возник интерес к дробной части радикала, определилось значение первого приращения ординат [(nv2)–1], и началось массовое построение графиков точек с координатами [x; х*(nv2)–целая часть десятичного числа].

Далее было установлено, что упомянутая выше смена единиц на двойку происходит между двумя точками в нижней части графиков, на всей их протяжённости. Наметилась невидимая граница, делящая графики на две неравные части. Простейшими действиями с рядами радикалов эта граница материализовалась в кривую (2-1).

Объединение точек и кривой на одном графике сразу позволило выявить разницу графических схем при n=2 и n?2, найти наглядный признак целочисленного решения радикала и, соответственно, по новому сформулировать теорему: кривая и точки с указанными выше координатами несовместимы при показателях степени больше двух.

Развитие графических схем привело к соединению точек параллельными линиями, объединяемыми в системы с чётными и нечётными порядковыми номерами; системы линий постепенно «обрастали» характерными параметрами – рядовыми и укрупнёнными приращениями абсцисс и ординат, угловыми коэффициентами. Для расчёта приращений координат (табл.2-1) потребовались укрупняющие коэффициенты (УК). Среди точек сначала выделились рядовые, затем направляющие – первые на первых (направляющих) прямых каждой системы и ближайшие к горизонтальным ограничениям элементарного графика. Уникальность графической схемы второй степени получала новые подтверждения – в виде постоянства отношений соседних приращений ординат [(2-9а) и (2-9б)] и «сплошной» двоичности УК (прил.4-4, табл.4-4-3, графы 2 и 4 – УКi=2 выделены жирным шрифтом).

Использование формирующейся графической схемы постепенно стало давать результаты. В соответствии с признаком целочисленного решения радикала его минимальным условием является пересечение кривой и какой-либо прямой 1-й системы параллельных линий, соединяющих точки. На графиках кривой отчётливо наблюдается невозможность её пересечения с первой прямой 1-й системы (3-1), – так определились зона начальной несовместимости (ЗНН) и ограничивающая её критическая точка с характерным положением ниже кривой на второй прямой 1-й системы.

Если кривая (2-1) разделила график на нижнюю и верхнюю часть, то критическая точка – на бесконечную правую и «ограниченно-бесконечную» левую (или – бесконечную намного меньшего порядка). Есть и другое различие: протяжённость правой части бесконечна независимо от показателя степени n, левой – ЗНН – бесконечна лишь при n>?, но при небольших значениях n – конечна и полностью умещается на графиках. Монотонный элементарный график приобрёл в виде критической точки осязаемый ориентир, а ЗНН стала оптимальным участком для общего доказательства теоремы.

Дело в том, что доказательные схемы в правой части выглядят неубедительно, так как предполагают использование предельных значений некоторых параметров, недосягаемых для любой функции по определению.

Так, по причине недостижимости предела кривой и неопределённости положения «последней» рядовой точки – не выдерживает критики утверждение о несовместимости двух выделенных курсивом элементов графика (раздел 3).

Из-за сомнений в возможности применения предельных значений пришло понимание, что ЗНН, – открытая для наблюдений при небольших показателях степени  и  характеризующаяся конкретными значениями параметров, – предпочтительнее для доказательства теоремы, чем правая часть графиков.

Последовало более детальное исследование ЗНН, опять-таки выявившее существенные различия графических схем при n=2 и n?2. Ключевой уникальной особенностью графической схемы второй степени – не по существу, а для решения задачи – стало отсутствие в ЗНН рядовых точек и присутствие – только направляющих. Необходимо было решить, в чём преимущество вторых над первыми; со временем удалось установить, что дело в более конкретной, определённой, однозначной информации, несущей направляющими точками.

Возник новый вопрос относительно механизма реализации преимущества направляющих точек. Подсказкой для решения стала уникальная позиция критической точки – на «отрезке равенства приращений и координат», в самой нижней части второй прямой 1-й системы параллельных линий (рис.4-1), – позволяющая вписать (встроить) её параметры в канонические для предложенной графической схемы уравнения табл.2-1 и 4-2. Объяснив причины и следствия положения критической точки на кривой, стало возможным объяснение иной её позиции. При n?2 рядовые точки с размытой, неопределённой информацией – сразу о нескольких приращениях ординат – сдвигают критическую точку вверх – на «отрезок неравенства приращений и координат», – и её параметры уже не вписываются в уравнения указанных выше таблиц. Тем самым исключается возможность совместимости точек и кривой.

Схема доказательства несовместимости точек и кривой при n?2 (в разделе 4) на базе уникальных особенностей графической схемы при n=2 отчасти напоминает доказательство «по прецеденту» (или – «вопреки прецеденту»), применяемому в юридической практике некоторых стран. Используемый в настоящей работе ответственный термин «доказательство» вполне возможно заменить менее претенциозным понятием «объяснение» (например, «объяснение причин, обеспечивающих целочисленное решение радикала nv[xn+(x+1)n] при n=2 и исключающих его при n?2»).

Многочисленные методологические требования предлагают сформулировать в заключении к научной работе обоснование её основных результатов. В настоящем исследовании обоснованием многих результатов служат достаточно простые графики. В частности, применительно к доказательству несовместимости критической и других точек с кривой в качестве главного обоснования выступают графики рис.4-1, на которых вполне отчётливо и без возможности двойного толкования видна кардинальная разница различных элементов и позиций в графических схемах при n=2 и n?2. Разница по перечисленным ниже трём главным элементам и позициям рис.4-1 настолько наглядна и очевидна, что нет необходимости доказывать её существование.

1. При n=2 в ЗНН рядовые точки отсутствуют, при n?2 – присутствуют, причём с ростом показателя степени графической схемы их количество в ЗНН только увеличивается.

2. При n=2 критическая точка – самая нижняя на второй прямой 1-й системы параллельных линий, соединяющих точки; при n?2 она – не самая нижняя, сдвинута вверх, и её параметры уже не вписываются в уравнения табл.2-1 и 4-2. Тем самым исключается возможность совместимости точек и кривой и целочисленное решение радикала.

3. При n=2 протяжённость ЗНН равна сумме УК1+1 (3=3). При n?2 протяжённость ЗНН больше указанной суммы;  с ростом показателя степени  это  несоответствие усугубляется, из-за чего равенства II и III типа не охватывают в ЗНН все вертикали и не учитывают их данные, что исключает положение критической точки на кривой.

Таким образом, наглядное изображение теоремы Ферма в виде разнообразных графиков не только иллюстрирует текст, но и обосновывает его основные выводы.

                                                                                                                                                                                                                                                                                             И.И. Лещенко

 

Список приложений

№№

Название разделов и приложений

 

1. Введение

 

2. Общая характеристика графической схемы

2-1

Абсциссы точек, как пары числа a и b для нахождения пифагоровых троек.

 

3. Критическая точка, её положение и свойства

3-1

Положение точек, лежащих на кривой (n=2, С=1) и ближайших к ней (n=3, 4; С=1), на прямых линиях 1-й системы

 

4. Уникальные особенности графической схемы второй степени

4-1

II и III типы равенства иррациональных параметров в ЗНН при n=2 и УКi=2

4-2

Координаты точек на первой и второй прямой 1-й системы параллельных линий

4-3

Сравнение параметров критической точки при n=2 и самой нижней точки при n?2 на второй прямой 1-й системы параллельных линий, соединяющих точки

4-4

Варианты расчёта координат точек при n=2

4-5

Суммарные приращения ординат точек и прирост ординаты кривой в ЗНН при n=2

4-6

Обоснование принадлежности кривых к типу эллиптических

4-7

Схемы общего доказательства теоремы Ферма

 

 

 

Приложение 2-1

Абсциссы точек, как пары числа a и b для нахождения пифагоровых троек. Жирным шрифтом в графе 2 выделены абсциссы направляющих точек (хНПР), курсивом – абсциссы межсистемных направляющих точек (хМ/С). Ординаты точек ОНПРНПР*(v2)–БЦ

или ОМ/СМ/С*(v2)–БЦ             {M=[(v2)–1]}

№№ п/п

Абсциссы точек (х)

Ближайшее целое число (БЦ)

Ординаты точек (О или 1–О)

С=(х*v2)2

–(БЦ)2

значение

формулы

1

2

3

4

5

6

1

1

1

0,41421356237

M

1

2

2

3

–0,171572875

1–M2

–1

3

5

7

0,07106781187

M3

1

4

12

17

–0,029437252

1–M4

–1

5

29

41

0,01219330882

M5

1

6

70

99

–0,005050634

1–M6

–1

7

169

239

0,00209204105

M7

1

8

408

577

–8,6655178e-4

1–M8

–1

9

985

1393

0,00035893750

M9

1

10

2378

3363

–0,000148677

1–M10

–1

12

3

4

0,24264068712

М1–М2

2

13

7

10

–0,100505063

М2–М3

–2

14

17

24

0,04163056034

М3–М4

2

15

41

58

–0,017243943

М4–М5

–2

16

99

140

0,00714267494

М5–М6

2

17

239

338

–0,002958593

М6–М7

–2

18

577

816

0,00122548928

М7–М8

2

19

1393

1970

–5,0761428e-4

М8–М9

–2

20

3363

4756

0,00021026072

М9–М10

2

 

Параметр С можно рассчитать, как абсолютное значение разности двух первых чисел троек – С=¦b2a2–2ab¦ или по формуле разности квадратов (2-1-1):

С=[хНПР*(v2)–БЦ]*[хНПР*(v2)+БЦ]=[хНПР*(v2)] 2–БЦ 2                             (2-1-1)

где БЦ – ближайшее к произведению хНПР*(v2) целое число, равное абсциссе соседней межсистемной направляющей точки – БЦ=хМ/С (табл.2-1-1, графы 2, 4).

Подставив в (2-1-1) хНПР=(ОНПР+БЦ)/(v2) [см. формулу (2-2) в тексте], и разделив обе части равенства на ОНПР, – получаем формулы связи координат обычных и межсистемных направляющих точек – (2-1-2) и (2-1-21):

С/ОНПР=2*БЦ+ОНПР                                                       (2-1-2);

и при С=1:  1/ОНПР=2*БЦ+ОНПР  или  1/ОНПР=2*хМ/СНПР           (2-1-21)

Таблица 2-1-1

Характер связи между приращениями абсцисс и ординат при n=2 и С=1    {M=[(v2)–1]}

i

Координаты направляющих точек (хНПР; ОНПР)

1/Mi=2*БЦ+Mi=2*хМ/СНПР

хНПР*(v2)–БЦ=ОНПР

ОНПР=[(v2)–1]i=Mi=ПО/i

1

2

3

4

1

1*(v2)–1

0,414213562373095=M1

2,4142135623730950488=1*2+M1

2

2*(v2)–3

–0,1715728752538= –M2

5,8284271247461900976=3*2–M2

3

5*(v2)–7

0,07106781186548=M3

14,071067811865475244=7*2+M3

4

12*(v2)–17

–0,029437251523= –M4

33,97056274847714059=17*2–M4

5

29*(v2)–41

0,01219330881976=M5

82,01219330881975642=41*2+M5

6

70*(v2)–99

–0,005050633883= –M6

197,9949493661166534=99*2–M6

 

Равенство дробных частей – {1/[(v2)–1]i}={[(v2)–1]i} или {1/[(v2)–1]i}={1–[(v2)–1]i} – скорее всего, уникально, но его отсутствие при n?2 требует отдельного доказательства. При n?2 формула (2-1-1) не действует – не известны формулы разности кубов и разности более высоких степеней; нет и механизма обратной связи координат направляющих точек (2-1-2).

 

 

Приложение 3-1-1

Положение точек, лежащих на кривой и на прямых линиях 1-й системы (n=2, С=1).

Легенда – на всех графиках.

 

Приложение 3-1-2

Положение точек, ближайших к кривой и лежащих на прямых линиях 1-й системы (n=3, С=1).

Легенда – в прил.3-1-1 и на левом графике.

  

Приложение 3-1-3

Положение точек, ближайших к кривой и лежащих на прямых линиях 1-й системы (n=4, С=1).

Легенда – в прил.3-1-1 и 3-1-2.

 

 

 

Приложение 4-1

II и III типы равенства иррациональных параметров в зоне начальной несовместимости (ЗНН)

при n=2 и УКi=2

Типы1)

Параметры

Первая прямая 1-й системы

1

2

3

Уравнения таблицы 2.1

II

Приращения абсцисс

ПА/2А/0+УК1А/1

 

то же в числах

     2=0+2*1

 

Приращения ординат

ПО/2О/0+УК1О/1

 

то же в числах

                                      –0,1716= –1+2*0,4142

III

Координаты – абсциссы

хНПР-2=0+УК1НПР-12)

 

то же в числах

        2=0+2*1

 

Координаты – ординаты

ОНПР-2=0+УК1НПР-1

 

то же в числах

                                          0,8284=0+2*0,4142

Уравнения таблицы 2-1, разделённые на две части

II

Приращения абсцисс

ПА/0А/1=хСМЖ_КР2)А/2–ПА/1

 

то же в числах

          0+1=1=2–1

 

Приращения ординат

             ПО/0О/1=ОСМЖ_КР2)=(1–ПО/2)–ПО/1

 

то же в числах

0+0,4142=0,4142=(1–0,1716)–0,4142

III

Координаты – абсциссы

0+хНПР-1=хСМЖ_КР2)НПР-2–хНПР-1

 

то же в числах

         0+1=1=2–1

 

Координаты – ординаты

0+ОНПР-1СМЖ_КР2)НПР-2–ОНПР-1

 

то же в числах

0+0,4142=0,4142=0,8284–0,4142

 

 

Типы1)

Параметры

Самая нижняя прямая 2-й системы

1

2

4

Уравнения таблицы 2-1

II

Приращения абсцисс

ПА/3А/1+УК2А/2

 

то же в числах

     5=1+2*2

 

Приращения ординат

                                        ПО/3О/1–УК2О/2

 

то же в числах

0,0711=0,4142–2*0,1716

III

Координаты – абсциссы

хНПР-3НПР-1+УК1НПР-2

 

то же в числах

        5=1+2*2

 

Координаты – ординаты

ОНПР-3НПР-1–УК1*(1–ОНПР-2)

 

то же в числах

                             0,0711=0,4142–2*(1–0,8284)

Уравнения таблицы 2-1, разделённые на две части

II

Приращения абсцисс

ПА/1А/2=хКРА/3–ПА/2

 

то же в числах

           1+2=3=5–2

 

Приращения ординат

                  ПО/1–ПО/2=ОКРО/2О/3

 

то же в числах

0,4142–0,1716=0,2426=0,1716+0,0711

III

Координаты – абсциссы

хНПР-1НПР-2=хКРНПР-3–хНПР-2

 

то же в числах

                1+2=3=5–2

 

Координаты – ординаты

     ОНПР-1–(1–ОНПР-2)=ОКР=(1–ОНПР-2)+ОНПР-3

 

то же в числах

0,4142–(1–0,8284)=0,2426=(1–0,8284)+0,0711

1) Типы разницы и равенства иррациональных параметров (см. текст, раздел 4).

2) Координаты точки смежной с критической (рис.4-1); при n=2 хСМЖ_КРНПР-1 и ОСМЖ_КРНПР-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 4-2

Координаты1) точек на первой и второй прямой 1-й системы параллельных линий.

В последней строчке – предельное соотношение данных графы с показателем степени (С=1).

n

Абсциссы (х)

Разница3)

Первая прямая 1-й системы

Вторая прямая 1-й системы

1-я направляющая точка (хНПР-1=1)

2-я направляющая точка (xНПР-2=УК1)

Критическая точка (xКР)

Самая нижняя точка2)  (xНЖН)

1

2

3

4

5=2+3

6=4–5

2

1

2

3

3

0

3

1

3

5

4

1

4

1

5

7

6

1

5

1

6

9

7

2

6

1

8

11

9

2

7

1

9

13

10

3

8

1

11

15

12

3

9

1

12

17

13

4

10

1

13

19

14

5

11

1

15

21

16

5

12

1

16

23

17

6

45

1

64

92

65

27

50

1

71

102

72

30

10001

1

14427

20781

14428

6353

10002

1

14429

20783

14430

6353

10003

1

14430

20785

14431

6354

10004

1

14432

20787

14433

6354

10005

1

14433

20790

14434

6356

?

0

1/ln2=1,442695

(1/ln2)2=2,0814

1/ln2=1,442695

0,63867 3)

1)  Приводятся только абсциссы; ординаты точек могут быть рассчитаны по формуле (2-2).

2) Сумма абсцисс 1-й и 2-й направляющих точек равна абсциссе самой нижней точки (хНЖННПР-1НПР-2=УК1+1).

3)  Разница  абсциссы  критической  точки  и  суммы  абсцисс  1-й  и  2-й  направляющих  точек [xКР–(УК1+1)]; предел разницы равен [(1/ln2)2–1/ln2]=0,63867.

 

Приложение 4-3

Сравнение параметров критической точки при n=2 и самой нижней точки при n?2 на второй прямой 1-й системы параллельных линий, соединяющих точки

Независимо от показателя степени самая нижняя точка на второй прямой 1-й системы повторяет свойства критической точки при n=2. Её ордината равна разнице двух первых приращений ординат (или сумме ординат двух первых направляющих точек за вычетом единицы), а абсцисса – сумме приращений их абсцисс. Как и критическая точка при n=2, самая нижняя точка всегда лежит на прямой линии 2-й системы между 1-й и 3-й направляющими точками; при УК2=1 самая нижняя точка совпадает с 3-й направляющей точкой (рис.4-1, n=3, n=5, n=7).

Несмотря на внешнее сходство, самая нижняя точка при n?2 по ряду очевидных причин не может лежать на кривой.

Во-первых, её ордината меньше ординаты критической точки, которая находится под кривой и никогда – над кривой (рис.4-3-1).

Во-вторых, ближайшие к кривой точки (включая гипотетические точки на кривой) на прямых линиях 1-й системы самыми нижними быть не могут (прил.3-1-2 и 3-1-3).

В-третьих, ордината самой нижней точки меньше вертикальной проекции даже одного первого звена ломаной линии – кривой (2-1) – рис.4-3-2. Тем более, она меньше суммы той же проекции первого звена со следующими проекциями, как минимум – при n=3 – четырёх звеньев.

    

Рис.4-3-1. Ординаты критической точки, кривой (2-1) и самой нижней точки на второй прямой 1-й системы параллельных линий, соединяющих точки; легенда на обоих графиках.

 

Рис.4-3-2. Соотношение ординаты самой нижней точки на второй прямой 1-й системы параллельных линий (ОНЖН) с вертикальной проекцией первого звена ломаной линии, условно именуемой кривой (2-1). Красный кружок при n=2 – единственное значение соотношения больше единицы (0,24264 / 0,17815=1,36204).

Приложение 4-4

Варианты расчёта координат точек при n=2

Таблица 4-4-1

Модель расчёта координат точек на кривой и над ней при n=2

Содержание граф табл.4-4-1 с номерами:

1. №№ п/п – i.

2. Абсциссы направляющих точек – приращения абсцисс.

5. Расчёт ординат направляющих точек – приращений ординат.

i

Абсциссы точек

Ординаты точек

хНПР

Точки на кривой

Точки над кривой

х*М–целое число {М=[(v2)–1]}

Точки на кривой

Точки над кривой

1

2

3

4

5

6

7

0

0

0

 

0

0

 

1

1

 

0+1=1

1*М–0=

 

0,414214

2

2

0+1+2=3

 

3*М–1=

0,2426407

 

3

5

 

3+5=8

8*М–3=

 

0,313708

4

12

3+5+12=20

 

20*М–8=

0,2842713

 

5

29

 

20+29=49

49*М–20=

 

0,296465

6

70

20+29+70=119

 

119*М–49=

0,2914139

 

7

169

 

119+169=288

288*М–119=

 

0,293506

8

408

119+169+408=696

 

696*М–288=

0,2926394

 

9

985

 

696+985=1681

1681*М–696=

 

0,292998

10

2378

696+985+2378=4059

 

4059*М–1681=

0,2928497

 

11

5741

 

4059+5741=9800

9800*М–4059=

 

0,292911

12

13860

9800+13860=23660

 

23660*М–9800=

0,2928857

 

Таблица 4-4-2

Модель расчёта ординат точек на кривой и над ней  при n=2

i

Ординаты точек

Расчёт через М=[(v2)–1]

Точки на кривой

Точки над кривой

1

5

6

7

0

 

0

 

1

   М1=[(v2)–1]=0,4142135624

 

0+М1=0,414213562

2

   М2=2М1–М0= –0,171572875

0,414213562–М2=0,24264068

 

3

М31–2М2=0,071067812

 

0,242640687+М3=0,31370850

4

   М4=2М3–М2= –0,029437252

0,313708499–М4=0,28427125

 

5

М53–2М4=0,012193309

 

0,284271247+М5=0,29646456

6

 М6=2М5–М4= –0,0050506339

0,296464556–М6=0,29141392

 

7

М75–2М6=0,00209204105

 

0,291413922+М7=0,29350596

8

 М8=2М7–М6= –8,66551777e-4

0,293505963–М8=0,29263941

 

9

М97–2М8=3,589374986e-4

 

0,292639412+М9=0,29299835

10

М10=2М9–М8= –1,4867678e-4

0,292998349–М10=0,2928497

 

11

М119–2М10=6,15839387e-5

 

0,292849672+М11=0,2929113

12

М12=2М11–М10= –2,5508903e-5

0,292911256–М12=0,2928857

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4-4-3

Модель  расчёта  абсцисс  точек  на  кривой  и  у  горизонтальных  ограничений  графика  при  n=2 (все УКi=2)

№№

Абсциссы направляющих точек

У нижнего ограничения графика хНПР-i+2НПР-iНПР-i+1*УКi

На кривой (межсистемных точек)    b2–a2 / 2*a*b

У верхнего ограничения графика (см. графу 2)

1

2

3

4

0

 

 

0

1

1

 

 

2

 

b2–a2=22–12=3

0+1*2=2

2

 

(2*a*b =2*1*2=4)1)

 

3

1+2*2=5

 

 

3

a2+b2=12+22=5

 

 

3

v[32+(3+1)2]=5

 

 

4

 

(52–22=21)1)

2+5*2=12

4

 

2*2*5=20

 

5

5+12*2=29

 

 

5

a2+b2=22+52=29

 

 

5

v[202+(20+1)2]=29

 

 

6

 

122–52=119

12+29*2=70

6

 

(2*5*12=120)

 

7

29+70*2=169

 

 

7

52+122=169

 

 

7

v[1192+(119+1)2]=169

 

 

8

 

(292–122=697)

70+169*2=408

8

 

2*12*29=696

 

9

169+408*2=985

 

 

9

122+292=985

 

 

9

v[6962+(696+1)2]=985

 

 

10

 

702–292=4059

408+985*2=2378

10

 

(2*29*70=4060)

 

11

985+2378*2=5741

 

 

11

292+702=5741

 

 

11

v[40592+(4059+1)2]=5741

 

 

12

 

(1692–702=23661)

2378+5741*2=13860

12

 

2*70*169=23660

 

13

5741+13860*2=33461

 

 

13

702+1692=33461

 

 

13

v[236602+(23660+1)2]=33461

 

 

14

 

4082–1692=137903

13860+33461*2=80782

14

 

(2*169*408=137904)

 

15

33461+80782*2=195025

 

 

15

1692+4082=195025

 

 

15

v[1379032+(137903+1)2]=195025

 

 

и т.д.

1) В скобках – второе число пифагоровой тройки, равное её первому числу плюс единица.

 

 

 

Приложение 4-5

Суммарные приращения ординат точек и прирост ординаты кривой в ЗНН при n=2

Интервал абсцисс

Приращения ординат точек

Прирост ординаты кривой1)

в интервале

нарастающим итогом

в интервале

нарастающим итогом

1

2

3

4

5

Первый вариант

0-1

0,414213

0,414214

0,178146

0,178146

1-2

0,414213

0,828427

0,044730

0,222876

2-3

0,414213

1,242641–1=0,242641

0,019765

0,242641

Второй вариант

0-1

  0,414213

0,414214

0,178146

0,178146

1-2

–0,085786

0,328427

0,044730

0,222876

2-3

–0,085786

0,242641

0,019765

0,242641

           

1) Прирост ординаты кривой по вариантам не меняется.

 

Суммарные приращения ординат точек (с буквенными обозначениями) и прирост ординаты кривой в ЗНН при n=2

Интервал абсцисс

Приращения ординат точек

Прирост ординаты кривой1)

в интервале

нарастающим итогом

в интервале

нарастающим итогом

1

2

3

4

5

Первый вариант

0-1

ПО/1

ПО/1=0,414214

0,178146

0,178146

1-2

ПО/1

2*ПО/1=0,828427

0,044730

0,222876

2-3

ПО/1

3*ПО/1–1=0,242641

0,019765

0,242641

Второй вариант

0-1

ПО/1

ПО/1=0,414214

0,178146

0,178146

1-2

–ПО/2/2

ПО/1–ПО/2/2=0,328427

0,044730

0,222876

2-3

–ПО/2/2

ПО/1–ПО/2=0,242641

0,019765

0,242641

           

1) Прирост ординаты кривой по вариантам не меняется.

 

Приращения ординат точек. Ординаты кривой (ОКРВ) и её прирост (ОКРВ x=i+1–ОКРВ x=i)

Ординаты кривой и её приросты

Натуральные числа

Приращения ординат точек

Радикалы

Сумма1)

ПО/1

ПО/2

ПО/3

1

2

3

4

5

6

7

8

9=?28

ОКРВ x=2

4

 

–ПО/2

 

 

–(v13)

 

=0,222876

–ОКРВ x=1

2

О/1

 

 

–(v5)

 

 

=0,178146

ОКРВx=2–ОКРВx=1

2

–(ПО/1О/2)

 

+(v5)

–(v13)

 

=0,044730

ОКРВ x=3

5

 

ПО/2О/3

 

 

–(v25)

=0,242641

–ОКРВ x=2

4

 

–ПО/2

 

 

–(v13)

 

=0,222876

ОКРВx=3–ОКРВx=2

1

О/1

 

 

 

+(v13)

–(v25)

=0,019765

1) Сумма граф 28.

 

 

Приложение 4-6

Обоснование принадлежности кривых к типу эллиптических

Для обоснования принадлежности кривых к типу эллиптических, или более определённо – их возможности воспроизводить себе подобные точки –  формализуется  связь  абсциссы  точки  касания (xКСТ)  и  новообразованной  абсциссы (X)  точки  пересечения  двух   линий:   а) кривой (2-1) и б) хорды (4-6-1), исходящей из начала координат и параллельной касательной – нулевой хорды. Заменяя громоздкое вычитаемое в (2-12) символом T, получаем уравнение нулевой хорды:

ОУ=Х* tg?КСТ = Х*[(nv2)–T],                                               (4-6-1)

где  ОУ – ордината точки пересечения кривой (2-1) – хордой.

Параметр T рассчитывается в точке касания. Для определения новообразованной абсциссы точки пересечения (Х) совместно решаются уравнения (2-1) и (4-6-1):

C+Х*(nv2)–nv[Хn+(Х+C)n] = Х*[(nv2)–T]

C+Х*(nv2)–nv[Хn+(Х+C)n] = Х*(nv2)–TХ

C+TХ = nv[Хn+(Х+C)n]

(C+TХ)n = Хn+(Х+C)n                                                      (4-6-2)

Независимо от показателя степени n, последующие преобразования (4-6-2) приводят к уравнению (4-6-3) с биномиальными коэффициентами:

Xn(2–Tn)+nСXn–1(1–Tn–1)+… …+СkXnk{[n(n–1)…(n–k+1)]/1*2*…*k}(1–Tnk)+… …+nСn–1X(1–T)=0   (4-6-3)

Если T рационально, а это может быть только тогда, когда точка касания лежит на кривой, и её абсцисса обеспечивает целочисленное решение радикала nv[xКСТn+(хКСТ+1)n], в (4-6-3) все коэффициенты при Х – тоже рациональные числа. В этом случае один из корней – абсцисса точки пересечения – может быть целым, рациональным, но и иррациональным числом. Если же Т – иррационально, рациональным остаётся только коэффициент первого члена, а все остальные коэффициенты и корни (4-6-3) – иррациональны. Таким образом, посредством параметра T – через систему двух параллельных линий – касательной и нулевой хорды – информация о характере точки касания передаётся в точку пересечения. Подобный механизм воспроизводства характерных точек может свидетельствовать о принадлежности кривых (2-1) к типу эллиптических.

Приведенное обоснование далеко от классического – с использованием дискриминанта, – но кривые (2-1) ещё дальше от эллиптических кривых, заданных в канонической форме, то есть уравнениями с целочисленными коэффициентами и неизвестными во второй и третьей степени.

Основу механизма воспроизводства характерных точек составляют два прямоугольных треугольника, выделенные на графиках рис.4-6-1 жирными линиями. Катеты треугольников параллельны осям графика, гипотенузы параллельны по условиям построения. Соответственно, все углы треугольников равны, сами треугольники подобны, а их стороны пропорциональны. Запуск механизма воспроизводства возможен при совпадении с кривой хотя бы одной ненулевой целочисленной точки – первой точки. Лишь в этой точке параметр Т в формуле углового коэффициента касательной (2-12) приобретает рациональное значение, и один из корней (4-6-3) – абсцисса точки пересечения кривой и нулевой хорды – может быть целым числом.

При n>2 критическая точка не лежит на кривой, соответственно, – угловые коэффициенты касательных к кривой при хКР=хКСТ  и  прямых линий, соединяющих точки, не совпадают, то есть гипотенузы треугольников, составляющих основу механизма воспроизводства, не параллельны, треугольники не подобны. Оставаясь эллиптическими, кривые не могут воспроизводить целочисленные точки из-за отсутствия на кривой первой точки (или второй – с учётом начала координат). Её отсутствие при n>2 обосновано в разделе 4.

Применительно к абсциссам (Х) точек пересечения нулевой хорды и кривой, пифагоровы тройки – лишь частный случай более общей закономерности.

Если n=2, уравнение (4-6-3) упрощается до

Х2*(2–Т2)+2С*X*(1–Т)=0,                                                (4-6-4)

и после сокращения на Х [один из корней (4-6-3) и (4-6-4) соответствует началу координат] – до

Х*(2–Т2)+2C*(1–Т)=0, откуда

Х*(2–Т2)=2C*(Т–1) и

Х=2C*(Т–1)/(2–Т2)                                                         (4-6-5)

 

 

Рис.4-6-1. Кривая (2-1) и подобные треугольники; n=2, С=1, целочисленные точки на кривой – х=3, х=20, х=119, х=696 (легенда – последовательно на всех графиках).

Верхний график – ПА/3=5, ПО/3=[(v2)–1]3=0,071068,   tg?3-й=[(v2)*5–7]/5=(v2)–7/5=0,014214.

Второй график сверху. В единой системе угловых коэффициентов прямых линий, соединяющих точки, определённое значение имеют межсистемные прямые, в частности, хорды, соединяющие точки, лежащие на кривой. В данном конкретном случае рядовые приращения координат для хорды (ПА/х и ПО/х) составляют:    ПА/(3-4)А/3А/4=5+12=17 и ПО/(3-4)О/3–ПО/4=0,04163,    tg?3-4-й=[(v2)*17–24]/17=(v2)–24/17=0,002449.

Нижние графики –  ПА/= 29,                ПО/5=[(v2)–1]5=0,01219,      tg?5-й=[(v2)*29–41]/29=

=(v2)–41/29=4,2046e-4.

 

Продекларированная выше закономерность для пифагоровых троек состоит в том, что для любой целочисленной абсциссы точки касания xКСТ справедливо равенство:

Х+v2+(Х+С)2] = (2xКСТ+С)2/С,                                            (4-6-6)

то есть сумма в его левой части является рациональным или целым числом, а произведение

{Х+v2+(Х+С)2]}*C = (2xКСТ+С)2                                           (4-6-7)

– целым числом, несмотря на то, что и параметр Т, и Х, и v2+(Х+С)2] – преимущественно иррациональные числа, кроме случаев с собственно пифагоровыми тройками (табл.4-6-1).

Таблица 4-6-1

Параметры с новообразованной абсциссой точки пересечения (Х) кривой (2-1) и хорды (4-6-1) y=Х*tg ?КСТ

Показатели

Численное значение показателей

х

3

4

5

5

300

С

7

7

7

2

2

x+С

10

11

12

7

302

х+(x+С)=2x+С

13

15

17

12

602

x2+(x+С)2

109

137

169

74

181204

v2+(х+С)2]

10,44030651

11,70469991

13

8,602325267

425,6806315

T=(2х+С)]/v[х2+(х+С)2]

1,245174171

1,281536487

1,307692308

1,394971665

1,414205758

Х=2С*(Т-1)/(2–Т2)

7,635424176

11,02014248

14,85714286

29,22790321

75055,74014

Х+С

14,63542418

18,02014248

21,85714286

31,22790321

75057,74014

Х2+(Х+С)2

272,4953432

446,1690750

698,4693878

1829,452264

11267028483

v2+(Х+С)2]

16,50743297

21,12271469

26,42857143

42,77209680

106146,2599

Х+v[Х2+(Х+С)2]

24,14285714

32,14285714

41,28571429

72

181202

{Х+v2+(Х+С)2]}*C=(2x+С)2

169

225

289

144

362404

Показатели

Численное значение показателей

х

11

12

13

14

15

С

1

1

1

5

5

x+С

12

13

14

19

20

х+(x+С)=2x+С

23

25

27

33

35

x2+(x+С)2

265

313

365

557

625

v[х2+(х+С)2]

16,27882060

17,69180601

19,10497317

23,60084744

25

T=(2х+С)]/v[х2+(х+С)2]

1,412878769

1,413083547

1,413244591

1,398254875

1,4

Х=2С*(Т-1)/(2–Т2)

218,8257474

258,5903006

301,6685514

88,73118624

100

Х+С

219,8257474

259,5903006

302,6685514

93,73118624

105

Х2+(Х+С)2

96208,06696

134256,0678

182612,1669

16658,75869

21025

v[Х2+(Х+С)2]

310,1742526

366,4096994

427,3314486

129,0688138

145

Х+v[Х2+(Х+С)2]

529

625

729

217,8

245

{Х+v2+(Х+С)2]}*C=(2x+С)2

529

625

729

1089

1225

 

Приложение 4-7

Схемы общего доказательства теоремы Ферма

Обе приведенные ниже схемы рассматриваются лишь как дополнение к основному доказательству (объяснению) несовместимости точек и кривой в разделе 4 – для освещения возможностей, связанных с эллиптическими кривыми, и графической схемы в целом.

Схема общего доказательства теоремы выглядит следующим образом. Предполагается, что какая-то гипотетическая рядовая точка лежит на кривой. Через неё проводится касательная, а из начала координат, параллельно ей, – хорда (нулевая хорда); на пересечении хорды с кривой – благодаря свойству (способности) эллиптических кривых воспроизводить себе подобные точки – должна лежать целочисленная точка. Если в найденной точке повторить подобную операцию, а затем повторить её ещё бесконечное множество раз, очередная целочисленная точка ложится на кривую там, где она «достигает» своего предела. Но, как было показано в разделе 3, ни одна точка при n>2 несовместима с пределом кривой. Следовательно, первоначальное предположение о существовании гипотетической точки, лежащей на кривой, неверно, и теорема доказана.

Схема доказательства теоремы с использованием в качестве опорной базы критической точки отличается от схемы, изложенной выше, лишь по форме. Меняется порядок проведения линий: сначала нулевая хорда – от гипотетической точки, лежащей на кривой, к началу координат, затем параллельная ей касательная, далее – снова нулевая хорда и параллельная ей касательная и т.д. При подобной итерации воображаемая целочисленная точка касания смещается не вправо – к пределу кривой, а влево – к ЗНН, и, в конце концов, должна совпасть с ограничивающей её критической точкой. Но, как показано в разделе 4, критическая точка при n>2 несовместима с кривой. Следовательно, первоначальное предположение о существовании лежащей на ней гипотетической точки неверно, и теорема доказана.

Определённостью своего положения критическая точка выгодно отличается от предела кривой. Тем не менее, её использование в качестве опорной базы доказательства теоремы методом «от противного» предполагает необходимость дополнительного обоснования. Дело в том, что даже при n=2 и С>1 критические точки не всегда лежат на кривой (рис.4-7-1, 4-7-2, 4-7-3). Более того, при тех же n=2 и С>1 не все точки, лежащие на эллиптической кривой, способны к воспроизводству с помощью касательных и параллельных им нулевых хорд.

В формулировке теоремы Ферма вторая степень исключается из рассмотрения специальной оговоркой. Но кривая (2-1) при n=2 – единственный объект, позволяющий предметно исследовать описанный выше процесс итерации и реальные величины, с которыми проводятся повторяющиеся математические операции, – абсциссы целочисленных точек, угловые коэффициенты касательных и параллельных хорд. Именно поэтому в работе рассматриваются пифагоровы тройки, все первые числа которых соответствуют абсциссам точек, лежащих на кривой.

Используя в качестве классификационного признака параметр С, среди бесконечного множества пифагоровых троек можно выделить три подмножества: первородных, побочных (парных) и производных троек.

У первородных троек параметр С равен единице, у побочных (парных) – некоторым простым числам и их степеням, у производных – произведению величины С двух предыдущих типов троек на любое натуральное целое число (на МН – множитель). Самостоятельным типом производные тройки не являются, сохраняя большинство свойств множимых троек, в частности, их разную способность к воспроизводству. Два первых типа троек можно находить по стандартным формулам – 2ab, a2–b2 и a2+b2, – где a и b – целые числа. Для поиска производных троек эти формулы также применимы, но числа a и b обычно имеют в этом случае иррациональное значение (если множитель МН не является квадратом какого-либо числа).

Лишь  первородные  тройки  обладают  способностью  к  расширенному  воспроизводству (табл.4-7-1, 4-7-2). Достаточно просто решается вопрос о происхождении первой точки первой тройки с абсциссой x=3 (праматери всех пифагоровых троек). Её воспроизводство с помощью нулевой хорды (0-3*С) и параллельной ей касательной предполагает наличие в ЗНН целочисленной  точки  касания,  что невозможно  по  определению.  Однако  абсцисса точки касания (хКСТ)  приобретает  в  этом  случае  не  целочисленное,  но характерное  значение: хКСТ={[(v2)–1]+0,5}*C=[(v2)–0,5]*C=0,91421*С; не менее характерна и ордината точки касания: [(v2)–1]2*С=0,17157*С (рис.4-7-2).

Рис.4-7-1. Положение критической точки вне кривой (2-1) – при наличии других точек, лежащих на ней (легенда – на трёх первых графиках); n=2.

Верхняя пара графиков – слева – С=9, точка на кривой – х=27,

                                          справа – С=10, точка на кривой – х=30;

нижняя пара графиков – слева – С=23, точки на кривой – х=12, х=33 и х=69,

                                          справа – С=41, точки на кривой – х=36, х=39 и х=123

 

Таблица 4-7-1

Воспроизводство первых чисел первородных пифагоровых троек с помощью параметра Т касательной к кривой (2-1) и параллельной нулевой хорды

№№ п/п (i)

Абсцисса точки касания: х

Параметрыглавной – единой и неизменной системы касательных и хорд

Х=2С*(T–1) / (2–T2) (№№ п/п в графе 1)

T=(2х+1)/v[х2+(х+1)2]

tg?=(v2)–T

1

2

3

4

5

0

0

1

0,41421356237310

1)

б/н

0,5+[(v2)–1]

1,3333333333333

0,08088022903976

3   (1)

1

3

1,4

0,01421356237310

20   (2)

2

20

1,413793103448276

4,204589248192e-4

696   (4)

3

119

1,414201183431953

1,237894114239e-5

23660   (6)

4

696

1,414213197969543

3,644035519016e-7

803760   (8)

5

4059

1,414213551646055

1,072704035450e-8

27304196   (10)

6

23660

1,414213562057321

3,15774586174e-10

927538920   (12)

7

137903

1,414213562363800

9,29553591873e-12

31509019100   (14)

8

803760

1,414213562372821

2,7363502888e-13

1070379110496   (16)

9

4684659

1,414213562373087

8,05506317061e-15

36361380737780   (18)

10

27304196

1,414213562373095

2,37118920586e-16

1235216565974040 (20)

1) Нет пересечения кривой и нулевой хорды [см. в тексте неравенство (3-1)]

Таблица 4-7-2

Воспроизводство первых чисел первородных пифагоровых троек с помощью параметра Т хорды, дважды секущей кривую, и параллельной нулевой хорды

(№№ п/п в графе 1 табл.4-7-1)

Абсциссы точек пересечения

Параметрыглавной системы угловых коэффициентов

Х=2С*(T–1) / (2–T2)     (№№  п/п  в  графе 1  табл.4-7-1)

хi

xj

Т=(v2)–(РО/РА)1)

tg?=(v2)–T

1

2

3

4

5

6

0-1

0

3

1,333333333

0,08088022904

3 (1)

1-2

3

20

1,411764706

0,002448856491

119   (3)

2-3

20

119

1,414141414

7,214823168e-5

4059   (5)

3-4

119

696

1,414211439

2,123898225e-6

137903   (7)

4-5

696

4059

1,414213500

6,252177183e-8

4684659   (9)

5-6

4059

23660

1,414213561

1,840469162e-9

159140519   (11)

6-7

23660

137903

1,414213562

5,41783537e-11

5406093003   (13)

7-8

137903

803760

1,414213562

1,59486182e-12

183648021599   (15)

8-9

803760

4684659

1,414213562

4,69483487e-14

6238626641379   (17)

9-10

4684659

27304196

1,414213562

1,38203035e-15

211929657785303   (19)

10-11

27304196

159140519

1,414213562

4,06831750e-17

7199369738058939   (21)

1-3

3

119

1,413793103

4,204589248e-4

696   (4)

1-4

3

696

1,414141414

7,214823168e-5

4059   (5)

1-5

3

4059

1,414201183

1,237894114e-5

23660   (6)

1-6

3

23660

1,414211439

2,123898225e-6

137903   (7)

1-7

3

137903

1,414213198

3,644035519e-7

803760   (8)

1-8

3

803760

1,414213500

6,252177183e-8

4684659   (9)

3-7

119

137903

1,414213552

1,072704035e-8

27304196   (10)

3-8

119

803760

1,414213561

1,840469162e-9

159140519   (11)

1) Разность ординат РО={1+хi+1*(v2)–v[хi+12+(хi+1+1)2]}–{1+хi*(v2)–v[хi2+(хi+1)2]}

   Разность абсцисс (РА) точек пересечения:  РАi+1–хi

Другой способ:     tg?=[(v2)*(хi+1–хi)–целое число] /i+1–хi);     Т=(v2)–tg?.

Рис.4-7-2. Воспроизводство точек в ЗНН. Левый график – С=1, правый – С=5. Легенда – на обоих графиках; цифры при касательных и хордах – абсциссы точек пересечения и касания [кроме обозначения кривой – (2-1)]; 0,914214=0,5+[(v2)–1], 4,5711=5*{0,5+[(v2)–1]}

Первородным тройкам принадлежит монопольное право формировать главную – единую и неизменную систему угловых коэффициентов касательных и хорд (табл.4-7-1, 4-7-2).

Напомним, что независимо от показателя степени, только в пределах элементарного графика (при С=1) формируются угловые коэффициенты параллельных линий, соединяющих точки, и соответствующие им приращения ординат и абсцисс – рядовые и укрупнённые (табл.2-1).

Побочные тройки образуются только парами, поскольку каждая хорда два раза пересекает кривую, откуда их второе название. Две точки пересечения естественно находятся по бокам от точки касания, откуда их первое название. Все параметры побочных (парных) троек, включая их первые числа, равные абсциссам точек, лежащих на кривой,  длину горизонтальной проекции хорд между этими точками и угловые коэффициенты хорд, предопределены параметрами первородных троек.

Компьютерная программа Microsoft Excel предоставляет широкие возможности для поиска параметров С, обеспечивающих генерацию побочных (парных) троек. Другим способом служит совместное решение уравнений двух линий – кривой (2-1) и секущей её хорды:

С+х*(v2)–v[x2+(x+C)2] = ВХРД+х*tg? = ВХРД+х*[(v2)–T],                   (4-7-1)

где tg? и Т – параметры главной – единой и неизменной системы угловых коэффициентов касательных и хорд (табл.4-7-1, графы 3, 4  и  табл.4-7-2, графы 4, 5),

ВХРД – ордината точки пересечения хордой вертикальной линии, исходящей из начала координат, причём ВХРДКРТНКРТН,

где ККРТН – коэффициент кратности (числа натурального ряда) и

       ОКРТН – основание (объект) кратности; ОКРТН=1/v[xi2+(xi+C)2] – для касательных единой и неизменной системы угловых коэффициентов и ОКРТН=1/(xi+1–xi) – для хорд той же системы,

        где xi и xi+1 – абсциссы первых точек первородных троек (i – порядковый номер первого числа пифагоровой тройки в первой графе табл.4-7-1:  i=0 – х=0,   i=1 – x=3,   i=2 – x=20  и  т.д.).

Преобразования равенства (4-7-1), включая подстановку ВХРДКРТНКРТН, позволяют получить квадратное уравнение (4-7-2), два корня которого (х) являются абсциссами точек пересечения кривой (2-1) и хорды y=ВХРД+х*tg?:

(2–Т2)х2–2*[С*(Т–1)–ККРТН*Т*ОКРТН]х+[2С*ККРТНКРТН–(ККРТН)2*(ОКРТН)2]=0         (4-7-2)

Уравнение (4-7-2) включает три неизвестных – х, С, ККРТН – и может решаться только перебором вариантов С и ККРТН (см. рис.4-7-3, 4-7-4 и табл. к ним).

Рис.4-7-3. Воспроизводство побочных (парных) троек на кривой (2-1) в интервале 0–3*С при n=2. Легенда на всех графиках.

Таблица к рис.4-7-3

Принятые значения: i=0; xi–xi+1=0–3; tg?КСТ=tg?ХРД=[3*(v2)–4]/3=(v2)–4/3=0,08088;

Т=(v2)–tg?=1,3333, ОКРТН=1/3=0,33333

№№ п/п

C

ККРТН

Квадратные уравнения

Корни уравнений

х1

х2

1

5

0

0,22222 x2–3,333333 х=0

15

0

2

5

1

0,2222 x2–2,44444 х+3,222222=0

9,468626967

1,531373033

3

6

0

0,2222 x2–4 х=0

18

0

4

6

1

0,2222 x2–3,11111 х+3,888889=0

12,61248608

1,38751392

5

7

0

0,2222 x2–4,666667  х=0

21

0

6

7

1

0,2222 x2–3,77778 х+4,555556=0

15,69374728

1,306252715

7

7

2

0,2222 x22,88889 х+8,888889=0

8

5

8

8

0

0,2222 x2–5,333333 х=0

24

0

9

8

1

0,2222 x2–4,44444 х+5,222222=0

18,74642784

1,253572158

10

8

2

0,2222 x2–3,55555 х+10,22222=0

12,24264069

3,757359313

Рис.4-7-4. Воспроизводство побочных (парных) троек на кривой  (2-1) в интервале 0–3*С–20*С при n=2. Легенда на обоих графиках. Ниже жирным шрифтом выделены первые числа первородных пифагоровых троек, обычным – первые числа побочных (парных) троек.

Левый верхний график – С=17, х=0-7-28-51-88-207-340.

Правый верхний график – С=23, х=0-12-33-69-133-252-460.

Таблица к рис.4-7-4

Принятые значения: i=1, xi=3, tg?КСТ=tg?ХРД=[5*(v2)–7]/5=(v2)–7/5=0,01421356; Т=(v2)–tg?КСТ=1,4, ОКРТН=1/5=0,2

№№ п/п

C

ККРТН

Квадратные уравнения

Корни уравнений

х1

х2

1

17

0

0,04 x2–13,6 х=0

340

0

2

17

9

0,04 x2–8,56 х+57,96=0

207

7

3

17

16

0,04 x2–4,64 х+98,56=0

88

28

4

17

17

0,04 x2–2,24 х+15,36=0

511)

511)

5

23

0

0,04 x2–18,4 х=0

460

0

6

23

14

0,04 x2–10,56 х+120,96=0

252

12

7

23

21

0,04 x2–6,64 х+175,56=0

133

33

8

23

23

0,04 x2–5,52 х+190,44=0

691)

691)

1) Абсцисса точки касания

Побочные (парные) тройки и тройки, производные от них, не способны к воспроизводству. Если с этой целью используются касательная к кривой с абсциссой точки касания, равной первому числу побочной (парной) тройки, и параллельная касательной нулевая хорда, то новообразованная абсцисса (Х) становится не целым, но рациональным числом (рис.4-7-5). Если для воспроизводства используется хорда между двумя точками побочных (парных), возможны различные варианты, но большинство новообразованных абсцисс – те же рациональные числа.

  

Рис.4-7-5. Воспроизводство первых чисел пифагоровых троек с помощью параметра Т касательной к кривой с абсциссами точек касания, соответствующими первым числам побочных (парных) троек; С=7. Линии, параллельные касательным, воспроизводят на кривой точки с рациональными абсциссами: х=14,86*7=104 и х=29,14*7=204.

Первородные тройки непосредственно или косвенно – через параметры побочных (парных) троек – определяют и параметры производных троек. Отсюда следует главный вывод изучения пифагоровых троек: процесс итерации, необходимый для общего доказательства теоремы с использованием способности эллиптических кривых воспроизводить себе подобные точки, может и должен проводиться в пределах элементарного графика, то есть при С=1. В этом случае критическая точка (с абсциссой хКР=3) лежит на кривой и так же, как и все другие целочисленные точки на ней, способна к воспроизводству. Другими словами, доказательство теоремы при параметре С, равном единице, можно распространить на все его значения.

С учётом сделанного вывода следует соответственно изменить вводную фразу предложенных в начале настоящего раздела схем общего доказательства теоремы, добавив подчёркнутый ниже фрагмент: «Предполагается, что в пределах элементарного графика, то есть при C=1, какая-то гипотетическая рядовая точка лежит на кривой…» (и далее по тексту).

Уместно ещё раз напомнить, что при любом показателе степени основные параметры всех графических схем – приращения абсцисс, ординат и угловые коэффициенты прямых линий, соединяющих точки, – формируются на элементарном графике (первые абзацы раздела 2).

И.И. Лещенко

предыдущая запись

Поделиться этой новостью:

Просмотров: 427

Система Orphus